sujet : Antilles Guyane

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On a représenté ci-dessous la courbe C d'une fonction g définie et dérivable sur $\left[0;+\infty \right[$ ainsi que la tangente T à cette courbe en son point de coordonnées $\left(0;7\right)$. On admet que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe C au voisinage de de $+\infty$ . On désigne par $g\prime$ la fonction dérivée de la fonction g.

partie a

1. Préciser la valeur du réel $g\left(0\right)$

2. On admet que la tangente T passe par le point de coordonnées $\left(4;-\mathrm{2,8}\right)$. Justifier que la valeur exacte de $g\prime \left(0\right)$ est − 2,45.

3. Préciser la valeur de la limite de la fonction g en $+\infty$ .

4. On admet que la fonction g est définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{a}{{\mathrm{e}}^{bx}+1}}$ où a et b sont des nombres réels.

   1. Démontrer que pour tout réel x de $\left[0;+\infty \right[$, on a $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-ab{\mathrm{e}}^{bx}}{{\left({\mathrm{e}}^{bx}+1\right)}^2}}$.

      $$\begin{array}{ccc}g={\displaystyle \frac{a}{u}}& \text{d'où}& g\prime =-a\times {\displaystyle \frac{u\prime }{u^2}}\end{array}$$

   2. En utilisant les résultats des questions 1 et 2, déterminer les valeurs des réels a et b.

partie b

On considère un objet manufacturé dont le prix unitaire est x, en centaines d'euros.
D'après une étude de marché, l'offre $f\left(x\right)$ et la demande $g\left(x\right)$ pour cet objet, en centaines d'unités, sont définies pour tout x positif ou nul par : $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,7}x}-1& \text{et}& g\left(x\right)={\displaystyle \frac{14}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,7}x}+1}}\end{array}$$

1. Si le prix de vente unitaire de l'objet est 300 €, combien d'objets (à l'unité près) les consommateurs sont-ils prêts à acheter.

2. Calculer le prix de vente unitaire de l'objet, arrondi à l'euro près, pour que la demande soit de 350 objets.

3. 1. Déterminer l'unique solution de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$, et donner une valeur approchée au centième de cette solution.
      On appelle « prix d'équilibre » le prix permettant l'égalité entre l'offre et la demande. Quel est le prix d'équilibre, arrondi à l'euro près ?

      $$\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{0,7}x}-1\right)\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{0,7}x}+1\right)={\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{0,7}x}\right)}^2-1={\mathrm{e}}^{\mathrm{1,4}x}-1$$

   2. Au prix d'équilibre, quelle est la valeur commune de l'offre et de la demande, arrondie à l'unité près ?
      Quel est le chiffre d'affaire généré par les ventes au prix d'équilibre ?

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