Baccalauréat juin 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un restaurant propose une formule « entrée + plat » pour laquelle chaque client choisit entre trois entrées (numérotées 1, 2 et 3) puis entre deux plats (numérotés 1 et 2).

Chaque client qui choisit cette formule prend une entrée et un plat.

On a constaté que :

  • 30% des clients choisissent l'entrée no 1,24% choisissent l'entrée no 2 et les autres clients choisissent l'entrée no 3.
  • Par ailleurs, le plat no 1 est choisi par : 72% des clients ayant opté pour l'entrée no 1, 58% des clients ayant opté pour l'entrée no 2 et 29 % des clients ayant opté pour l'entrée no 3.

On choisit au hasard un client du restaurant ayant opté pour la formule « entrée + plat ».

  • On note E1 l'évènement : « Le client choisi l'entrée no 1 », E2 l'évènement : « Le client choisi l'entrée no 2 » et E3 l'évènement : « Le client choisi l'entrée no 3 ».
  • On note enfin P1 l'évènement : « Le client choisi le plat no 1 » et P2 l'évènement : « Le client choisi le plat no 2 ».
  1. Traduire la situation étudiée à l'aide d'un arbre pondéré, en indiquant sur cet arbre les probabilités données dans l'énoncé.

    • 30% des clients choisissent l'entrée no 1, 24% choisissent l'entrée no 2 et les autres clients choisissent l'entrée no 3 donc p(E1)=0,3, p(E2)=0,24 et p(E3)=1-0,3-0,24=0,46

    • Le plat no 1 est choisi par : 72% des clients ayant opté pour l'entrée no 1, 58% des clients ayant opté pour l'entrée no 2 et 29 % des clients ayant opté pour l'entrée no 3 donc pE1(P1)=0,72, pE2(P1)=0,58 et pE3(P1)=0,29

    D'où l'arbre de probabilités traduisant la situation :

    Arbre de probabilités : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Quelle est la probabilité que le client choisisse l'entrée no 3 et le plat no 1 (on donnera la valeur exacte de cette probabilité) ?

    p(E3P1)=pE3(P1)×p(E3)=0,29×0,46=0,1334

    La probabilité que le client choisisse l'entrée no 3 et le plat no 1 est égale à 0,1334.


  3. Montrer que la probabilité de l'évènement P1 est égale à 0,4886.

    Les évènements E1, E2 et E3 forment une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
    p(P1)=p(E1P1)+p(E2P1)+p(E3P1)

    Or p(E1P1)=pE1(P1)×p(E1)etp(E2P1)=pE2(P1)×p(E2)=0,72×0,3=0,58×0,24=0,216=0,1392

    Donc p(P1)=0,216+0,1392+0,1334=0,4886

    Ainsi, la probabilité que le client choisisse le plat no 1 est égale à 0,4886.


  4. Quelle est la probabilité qu'un client ait choisi l'entrée no 1 sachant qu'il a pris le plat no 1 (on arrondira le résultat à 10 − 4 près) ?

    pP1(E1)=p(P1E1)p(P1)soitpP1(E1)=0,2160,48860,4421

    La probabilité qu'un client ait choisi l'entrée no 1 sachant qu'il a pris le plat no 1 est 0,4421.


  5. On choisit trois clients au hasard parmi ceux ayant opté pour la formule ; on suppose le nombre de clients suffisament grand pour assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise. Dans cette question, on arrondira les résultats au millième.

    On suppose le nombre de clients suffisament grand pour assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise. Il s'agit donc de la répétition de trois épreuves de Bernoulli dont le succès est « le client choisit le plat no 1 ».

    schéma de Bernoulli

    schéma de Bernoulli : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Déterminer la probabilité qu'exactement deux de ces clients aient pris le plat no 1.

      Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de clients satisfaits, X suit une loi binomiale de paramètres 3 et 0,7625.

      Dans le schéma de Bernoulli, les chemins correspondants à l'évènement « exactement deux des trois clients ont pris le plat no 1 » sont les chemins réalisant deux succès et un échec. D'où p(X=2)=(32)×0,48862×0,5114=3×0,48862×0,51140,366

      Arrondie au millième, la probabilité qu'exactement deux de ces clients aient pris le plat no 1 est 0,366.


    2. Déterminer la probabilité qu'au moins un client ait pris le plat no 1.

      L'évènement « au moins un client a pris le plat no 1 » est l'évènement contraire de « les trois clients ont pris le plat no 2 ». D'où p(X1)=1-p(X=0)=1-0,511430,866

      Arrondie au millième, la probabilité qu'au moins un client ait pris le plat no 1 est 0,866.



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