Un restaurant propose une formule « entrée + plat » pour laquelle chaque client choisit entre trois entrées (numérotées 1, 2 et 3) puis entre deux plats (numérotés 1 et 2).
Chaque client qui choisit cette formule prend une entrée et un plat.
On a constaté que :
On choisit au hasard un client du restaurant ayant opté pour la formule « entrée + plat ».
Traduire la situation étudiée à l'aide d'un arbre pondéré, en indiquant sur cet arbre les probabilités données dans l'énoncé.
30% des clients choisissent l'entrée no 1, 24% choisissent l'entrée no 2 et les autres clients choisissent l'entrée no 3 donc , et
Le plat no 1 est choisi par : 72% des clients ayant opté pour l'entrée no 1, 58% des clients ayant opté pour l'entrée no 2 et 29 % des clients ayant opté pour l'entrée no 3 donc , et
D'où l'arbre de probabilités traduisant la situation :
Quelle est la probabilité que le client choisisse l'entrée no 3 et le plat no 1 (on donnera la valeur exacte de cette probabilité) ?
La probabilité que le client choisisse l'entrée no 3 et le plat no 1 est égale à 0,1334.
Montrer que la probabilité de l'évènement est égale à 0,4886.
Les évènements , et forment une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales : forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
Alors la probabilité d'un événement B est donnée par :
Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :
Or
Donc
Ainsi, la probabilité que le client choisisse le plat no 1 est égale à 0,4886.
Quelle est la probabilité qu'un client ait choisi l'entrée no 1 sachant qu'il a pris le plat no 1 (on arrondira le résultat à 10 − 4 près) ?
La probabilité qu'un client ait choisi l'entrée no 1 sachant qu'il a pris le plat no 1 est 0,4421.
On choisit trois clients au hasard parmi ceux ayant opté pour la formule ; on suppose le nombre de clients suffisament grand pour assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise. Dans cette question, on arrondira les résultats au millième.
On suppose le nombre de clients suffisament grand pour assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise. Il s'agit donc de la répétition de trois épreuves de Bernoulli dont le succès est « le client choisit le plat no 1 ».
schéma de Bernoulli
Déterminer la probabilité qu'exactement deux de ces clients aient pris le plat no 1.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de clients satisfaits, X suit une loi binomiale de paramètres 3 et 0,7625.
Dans le schéma de Bernoulli, les chemins correspondants à l'évènement « exactement deux des trois clients ont pris le plat no 1 » sont les chemins réalisant deux succès et un échec. D'où
Arrondie au millième, la probabilité qu'exactement deux de ces clients aient pris le plat no 1 est 0,366.
Déterminer la probabilité qu'au moins un client ait pris le plat no 1.
L'évènement « au moins un client a pris le plat no 1 » est l'évènement contraire de « les trois clients ont pris le plat no 2 ». D'où
Arrondie au millième, la probabilité qu'au moins un client ait pris le plat no 1 est 0,866.
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