sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. Le nombre dérivé noté $f\prime \left(1\right)$ est égal à :

   Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe repésentative de la fonction f au point $A\left(1;-3\right)$ d'abscisse 1. Cette tangente passe par le point $B\left(0;-2\right)$ d'où : $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}& \text{Soit}& f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{-2+3}{0-1}}=-1\hfill \end{array}$$

   a )  1

   b )  $-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

   c )  $-1$

   d )  3

2. La fonction u telle que $u\left(x\right)=\ln \left[f\left(x\right)\right]$ est définie sur :

   La fonction u définie par $u\left(x\right)=\ln \left[f\left(x\right)\right]$ est définie sur tout intervalle où la fonction f est strictement positive c'est à dire sur l'intervalle $\left]-2;0\right[$.

   a )  $\left[-2;0\right]$

   b )  $\left]-2;0\right[$

   c )  $\left]0;2\right[$

   d )  $\left[0;2\right]$

3. On considère F une primitive de f sur l'intervalle $\left[-2;2\right]$. La fonction F est décroissante sur :

   F est une primitive sur l'intervalle $\left[-2;2\right]$ de la fonction f. Donc pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[-2;2\right]$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe de f.

   Or $f\left(x\right)⩽0$ sur l'intervalle $\left[0;2\right]$, donc la fonction F est décroissante sur l'intervalle $\left[0;2\right]$.

   a )  $\left[-2;0\right]$

   b )  $\left[-2;2\right]$

   c )  $\left[0;2\right]$

   d )  $\left[-1;0\right]$

4. Soit $I={\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$. On a :

   Sur l'intervalle $\left[-1;0\right]$, $f\left(x\right)⩾0$ donc l'intégrale ${\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est la mesure en unités d'aire du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction f, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=-1$ .

   Or cette aire est comprise entre l'aire d'un rectangle de côtés 1 et 3 et celle du triangle rectangle de côtés 1 et 3. Donc $${\displaystyle \frac{3}{2}}<{\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<3$$

   a )  $I<0$

   b )  $0⩽I⩽1$

   c )  $1<I<3$

   d )  $I⩾3$

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