sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On a représenté ci-dessous la courbe C d'une fonction g définie et dérivable sur $\left[0;+\infty \right[$ ainsi que la tangente T à cette courbe en son point de coordonnées $\left(0;7\right)$. On admet que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe C au voisinage de de $+\infty$. On désigne par $g\prime$ la fonction dérivée de la fonction g.

partie a

1. Préciser la valeur du réel $g\left(0\right)$

   Le point de coordonnées $\left(0;7\right)$ appartient à la courbe C donc $g\left(0\right)=7$

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2. On admet que la tangente T passe par le point de coordonnées $\left(4;-\mathrm{2,8}\right)$. Justifier que la valeur exacte de $g\prime \left(0\right)$ est − 2,45.

   Le nombre dérivé $g\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe C d'où : $$g\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{-\mathrm{2,8}-7}{4-0}}=-\mathrm{2,45}$$

   Ainsi, $g\prime \left(0\right)=-\mathrm{2,45}$

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3. Préciser la valeur de la limite de la fonction g en $+\infty$ .

   L'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe C au voisinage de de $+\infty$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$

4. On admet que la fonction g est définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{a}{{\mathrm{e}}^{bx}+1}}$ où a et b sont des nombres réels.

   1. Démontrer que pour tout réel x de $\left[0;+\infty \right[$, on a $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-ab{\mathrm{e}}^{bx}}{{\left({\mathrm{e}}^{bx}+1\right)}^2}}$.

      $g={\displaystyle \frac{a}{u}}$ d'où $g\prime =-a\times {\displaystyle \frac{u\prime }{u^2}}$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{ccc}u\left(x\right)={\mathrm{e}}^{bx}+1& \text{et}& u\prime \left(x\right)=b{\mathrm{e}}^{bx}\end{array}$$

      Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-ab{\mathrm{e}}^{bx}}{{\left({\mathrm{e}}^{bx}+1\right)}^2}}$.

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   2. En utilisant les résultats des questions 1 et 2, déterminer les valeurs des réels a et b.

      • $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{a}{{\mathrm{e}}^{bx}+1}}$ et $g\left(0\right)=7$ donc $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{a}{1+1}}=0& \iff & a=14\end{array}$$

      • $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-ab{\mathrm{e}}^{bx}}{{\left({\mathrm{e}}^{bx}+1\right)}^2}}$ avec $g\prime \left(0\right)=-\mathrm{2,45}$ et $a=14$ donc $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{-14b}{{\left(1+1\right)}^2}}=-\mathrm{2,45}& \iff & b={\displaystyle \frac{4\times \mathrm{2,45}}{14}}=\mathrm{0,7}\end{array}$$

      La fonction g est définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{14}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,7}x}+1}}$

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partie b

On considère un objet manufacturé dont le prix unitaire est x, en centaines d'euros.
D'après une étude de marché, l'offre $f\left(x\right)$ et la demande $g\left(x\right)$ pour cet objet, en centaines d'unités, sont définies pour tout x positif ou nul par : $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,7}x}-1& \text{et}& g\left(x\right)={\displaystyle \frac{14}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,7}x}+1}}\end{array}$$

1. Si le prix de vente unitaire de l'objet est 300 €, combien d'objets (à l'unité près) les consommateurs sont-ils prêts à acheter.

   $$g\left(3\right)={\displaystyle \frac{14}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,7}\times 3}+1}}\approx \mathrm{1,527}$$

   Si le prix de vente unitaire de l'objet est 300 €, la demande sera d'environ 153 unités

   ---

   remarque

   La fonction g étant décroissante, il est possible de répondre que la demande sera de 152 unités.

2. Calculer le prix de vente unitaire de l'objet, arrondi à l'euro près, pour que la demande soit de 350 objets.

   $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{14}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,7}x}+1}}=\mathrm{3,5}& \iff & {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,7}x}+1={\displaystyle \frac{14}{\mathrm{3,5}}}\hfill \\ & \iff & {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,7}x}=3\hfill \\ & \iff & \mathrm{0,7}x=\ln 3\hfill \\ & \iff & x={\displaystyle \frac{\ln 3}{\mathrm{0,7}}}\approx \mathrm{1,569}\hfill \end{array}$$

   La demande sera de 350 objets si le prix de vente unitaire est de 157 €

   ---

   remarque

   La fonction g étant décroissante, il est possible de répondre que le prix de vente unitaire est de 156 €.

3. 1. Déterminer l'unique solution de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$, et donner une valeur approchée au centième de cette solution.
      On appelle « prix d'équilibre » le prix permettant l'égalité entre l'offre et la demande. Quel est le prix d'équilibre, arrondi à l'euro près ?

      $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=g\left(x\right)& \iff & {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,7}x}-1={\displaystyle \frac{14}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,7}x}+1}}\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{0,7}x}-1\right)\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{0,7}x}+1\right)-14}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,7}x}+1}}=0\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{1,4}x}-1-14}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,7}x}+1}}=0\hfill \\ & \text{Soit}& {\mathrm{e}}^{\mathrm{1,4}x}-15=0\hfill \\ & \iff & \mathrm{1,4}x=\ln 15\hfill \\ & \iff & x={\displaystyle \frac{\ln 15}{\mathrm{1,4}}}\approx \mathrm{1,93}\hfill \end{array}$$

      Arrondi à l'euro près, le prix d'équilibre est de 193 €

      ---

   2. Au prix d'équilibre, quelle est la valeur commune de l'offre et de la demande, arrondie à l'unité près ?
      Quel est le chiffre d'affaire généré par les ventes au prix d'équilibre ?

      Il est préférable de calculer la valeur commune de l'offre et de la demande avec la valeur exacte de la solution de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ :$$\begin{array}{ccc}f\left({\displaystyle \frac{\ln 15}{\mathrm{1,4}}}\right)={\mathrm{e}}^{\frac{\ln 15}{\mathrm{1,4}}\times 3}-1\approx \mathrm{2,87}& \text{ou}& g\left({\displaystyle \frac{\ln 15}{\mathrm{1,4}}}\right)={\displaystyle \frac{14}{{\mathrm{e}}^{\frac{\ln 15}{\mathrm{1,4}}\times 3}+1}}\approx \mathrm{2,87}\end{array}$$

      Soit une vente de 287 objets au prix unitaire de 193 € ce qui génère un chiffre d'affaire de $$193\times 287=55391$$

      Au prix d'équilibre de 193 €, 287 objets sont vendus pour un chiffre d'affaire de 55 391 €.

      ---

      remarque

      En calculant la valeur commune de l'offre et de la demande avec la valeur arrondie au centième de la solution de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ on obtient des résultats différents :

      • $f\left(\mathrm{1,93}\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,7}\times \mathrm{1,93}}-1\approx \mathrm{2,86}$

        Soit une vente de 286 objets pour un chiffre d'affaire de 55 198 €.

      • $g\left(\mathrm{1,93}\right)={\displaystyle \frac{14}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,7}\times \mathrm{1,93}}+1}}\approx \mathrm{2,88}$

        Soit une vente de 288 objets pour un chiffre d'affaire de 55 584 €.

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