Dans une grande entreprise, tous les agents commerciaux ont une voiture de fonction, qu'ils doivent choisir entre deux marques A et B. Le parc de véhicules (en location) est renouvelé tous les ans.
On suppose que le nombre d'agents commerciaux de l'entreprise ne varie pas, et que le deux marques A et B restent les seules possibilités pour les voitures de fonction proposées dans l'entreprise.
On a constaté que, chaque année :
On appelle la probabilité qu'un agent commercial choisi au hasard utilise un véhicule de marque A au début de l'année 2010 + n, et la probabilité qu'il utilise un véhicule de marque B au début de cette même année.
On note la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année 2010 + n.
En 2010, la moitié des agents commerciaux possédaient un véhicule de marque A ; ainsi : .
Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B , et donner la matrice de transition M (on considèrera les sommets du graphe dans l'ordre alphabétique).
Justifier que et donner une interprétation concrète des coefficients de cette matrice.
Déterminer l'état probabiliste stable du système et interpréter les résultats obtenus.
Que vaut, pour tout entier naturel n, la somme ?
On sait, pour tout entier naturel n, que ; démontrer, pour tout entier naturel n, que .
Pour tout entier naturel n, on pose : .
Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,8 dont on précisera le premier terme.
Exprimer en fonction de n, puis démontrer que pour tout entier naturel n, .
Déterminer la limite de la suite . Quel résultat retrouve-t-on ainsi ?
Si a est un réel tel que alors
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