sujet : Antilles Guyane

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un restaurant propose une formule « entrée + plat » pour laquelle chaque client choisit entre trois entrées (numérotées 1, 2 et 3) puis entre deux plats (numérotés 1 et 2).

Chaque client qui choisit cette formule prend une entrée et un plat.

On a constaté que :

• 30% des clients choisissent l'entrée n^o 1, 24% choisissent l'entrée n^o 2 et les autres clients choisissent l'entrée n^o 3.
• Par ailleurs, le plat n^o 1 est choisi par : 72% des clients ayant opté pour l'entrée n^o 1, 58% des clients ayant opté pour l'entrée n^o 2 et 29 % des clients ayant opté pour l'entrée n^o 3.

On choisit au hasard un client du restaurant ayant opté pour la formule « entrée + plat ».

• On note $E_1$ l'évènement : « Le client choisi l'entrée n^o 1 », $E_2$ l'évènement : « Le client choisi l'entrée n^o 2 » et $E_3$ l'évènement : « Le client choisi l'entrée n^o 3 ».
• On note enfin $P_1$ l'évènement : « Le client choisi le plat n^o 1 » et $P_2$ l'évènement : « Le client choisi le plat n^o 2 ».

1. Traduire la situation étudiée à l'aide d'un arbre pondéré, en indiquant sur cet arbre les probabilités données dans l'énoncé.

2. Quelle est la probabilité que le client choisisse l'entrée n^o 3 et le plat n^o 1 (on donnera la valeur exacte de cette probabilité) ?

3. Montrer que la probabilité de l'évènement $P_1$ est égale à 0,4886.

4. Quelle est la probabilité qu'un client ait choisi l'entrée n^o 1 sachant qu'il a pris le plat n^o 1 (on arrondira le résultat à 10 ^{− 4} près) ?

5. On choisit trois clients au hasard parmi ceux ayant opté pour la formule ; on suppose le nombre de clients suffisament grand pour assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise. Dans cette question, on arrondira les résultats au millième.

   schéma de Bernoulli

   1. Déterminer la probabilité qu'exactement deux de ces clients aient pris le plat n^o 1.

   2. Déterminer la probabilité qu'au moins un client ait pris le plat n^o 1.

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