Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Centres Étrangers 2013

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Les services de la mairie d'une ville ont étudié l'évolution de la population de cette ville. Chaque année, 12,5% de la population quitte la ville et 1 200 personnes s'y installent.
En 2012, la ville comptait 40 000 habitants.
On note Un le nombre d'habitants de la ville en l'année 2012 + n. On a donc U0=40 000.
On admet que la suite Un est définie pour tout entier naturel n par Un+1=0,875×Un+1 200.
On considère la suite Vn définie pour tout entier naturel n par Vn=Un-9600.

Les questions numérotées de 1 à 5 de cet exercice forment un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées : une seule réponse est exacte.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n'est demandée.


  1. La valeur de U1 est :

    U1=0,875×U0+1200=0,875×40000+1200=36200=36200

     a.   6 200

     b.   35 000

     c.   36 200

     d.   46 200

  2. La suite Vn est :

    Pour tout entier n, Vn+1=Un+1-9600=0,875Un+1200-9600=0,875Un-8400=0,875×Un-9600=0,875Vn

    Pour tout entier n, Vn+1=0,875Vn alors la suite Vn est une suite géométrique de raison 0,875.

     a.   géométrique de raison -12,5%

     b.   géométrique de raison 0,875

     c.   géométrique de raison -0,875

     d.   arithmétique de raison -9600

  3. La suite Un a pour limite :

    Exprimons Un, en fonction de n.

    • Le premier terme de la suite Vn est : V0=U0-9600SoitV0=40000-9600=30400

      Vn est une suite géométrique de raison 0,875 et de premier terme V0=30400 alors , pour tout entier naturel n, Vn=30400×0,875n.

    • Comme pour tout entier n, Vn=Un-9600 alors Un=Vn+9600. Soit pour tout entier n, Un=30400×0,875n+9600.

    0<0,875<1 donc limn+0,875n=0 d'où, limn+30400×0,875n+9600=9600. Soit limn+Un=9600.

    La suite Un converge vers 9600.

     a.   +

     b.   0

     c.   1 200

     d.   9 600

  4. On considère l'algorithme suivant :

    variables :

    U, N

    initialisation :

    U prend la valeur 40 000
    N prend la valeur 0

    traitement :

    Tant que U>10000
    N prend la valeur N+1
    U prend la valeur 0,875×U+1 200
    Fin du Tant que

    sortie :

    Afficher N

    L'objet de cet algorithme, est la suite Un.

    • L'initialisation « U prend la valeur 40 000 » correspond au terme initial U0=40 000
    • L'affectation « U prend la valeur 0,875×U+1 200 » correspond à la relation de récurrence Un+1=0,875×Un+1 200.
    • La condition de poursuite de la boucle Tant que est U>10000. Cette boucle se termine donc quand U10000.

    Cet algorithme permet d'obtenir le rang du premier terme de la suite Un inférieur ou égal à 10000.

     a.   la valeur de U40 0000 b.   toutes les valeurs de U0 à UN

     c.   le plus petit rang n pour lequel on a Un10 000

     d.   le nombre de termes inférieurs à 1 200
  5. La valeur affichée est :

    On cherche le plus petit entier n tel que Un10000. Soit 30400×0,875n+96001000030400×0,875n4000,875n4304ln0,875nln176La fonction logarithme est croissantenln0,875-ln76Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier nlnan=nlna  et  ln1a=-lnan-ln76ln0,875ln0,875<0

    Or -ln76ln0,87532,4 par conséquent, le plus petit entier n pour lequel Un10000 est 33.

     a.   33

     b.   34

     c.   9600

     d.   9970,8


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