Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Centres Étrangers 2013

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Les services de la mairie d'une ville ont étudié l'évolution de la population de cette ville. Chaque année, 12,5% de la population quitte la ville et 1 200 personnes s'y installent.
En 2012, la ville comptait 40 000 habitants.
On note $U_{n}$ le nombre d'habitants de la ville en l'année 2012 + n. On a donc $U_{0} = 40 000$ .
On admet que la suite $(U_{n})$ est définie pour tout entier naturel n par $U_{n + 1} = 0,875 \times U_{n} + 1 200$ .
On considère la suite $(V_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $V_{n} = U_{n} - 9600$ .

Les questions numérotées de 1 à 5 de cet exercice forment un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées : une seule réponse est exacte.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n'est demandée.

La valeur de $U_{1}$ est :
$\begin{matrix} U_{1} & = & 0,875 \times U_{0} + 1200 \\ = & 0,875 \times 40000 + 1200 = 36200 \\ = & 36200 \end{matrix}$
a. 6 200
b. 35 000
c. 36 200
d. 46 200
La suite $(V_{n})$ est :
Pour tout entier n, $\begin{array}{l} V_{n + 1} & = & U_{n + 1} - 9600 \\ = & 0,875 U_{n} + 1200 - 9600 \\ = & 0,875 U_{n} - 8400 \\ = & 0,875 \times (U_{n} - 9600) \\ = & 0,875 V_{n} \end{array}$
Pour tout entier n, $V_{n + 1} = 0,875 V_{n}$ alors la suite $(V_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,875.
a. géométrique de raison $- 12,5 %$
b. géométrique de raison 0,875
c. géométrique de raison $- 0,875$
d. arithmétique de raison $- 9600$
La suite $(U_{n})$ a pour limite :
Exprimons $U_{n}$ , en fonction de n.
- Le premier terme de la suite $(V_{n})$ est : $\begin{matrix} V_{0} = U_{0} - 9600 & Soit & V_{0} = 40000 - 9600 = 30400 \end{matrix}$
  $(V_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,875 et de premier terme $V_{0} = 30400$ alors , pour tout entier naturel n, $V_{n} = 30400 \times {0,875}^{n}$ .
- Comme pour tout entier n, $V_{n} = U_{n} - 9600$ alors $U_{n} = V_{n} + 9600$ . Soit pour tout entier n, $U_{n} = 30400 \times {0,875}^{n} + 9600$ .
$0 < 0,875 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,875}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 30400 \times {0,875}^{n} + 9600 = 9600$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} U_{n} = 9600$ .
La suite $(U_{n})$ converge vers 9600.
a. $+ \infty$
b. 0
c. 1 200
d. 9 600
On considère l'algorithme suivant :
variables :
U, N
initialisation :
U prend la valeur 40 000
N prend la valeur 0
traitement :
Tant que $U > 10000$
N prend la valeur $N + 1$
U prend la valeur $0,875 \times U + 1 200$
Fin du Tant que
sortie :
Afficher N
L'objet de cet algorithme, est la suite $(U_{n})$ .
- L'initialisation « U prend la valeur 40 000 » correspond au terme initial $U_{0} = 40 000$
- L'affectation « U prend la valeur $0,875 \times U + 1 200$ » correspond à la relation de récurrence $U_{n + 1} = 0,875 \times U_{n} + 1 200$ .
- La condition de poursuite de la boucle Tant que est $U > 10000$ . Cette boucle se termine donc quand $U ⩽ 10000$ .
Cet algorithme permet d'obtenir le rang du premier terme de la suite $(U_{n})$ inférieur ou égal à 10000.
a. la valeur de $U_{40 0000}$ b. toutes les valeurs de $U_{0}$ à $U_{N}$
c. le plus petit rang n pour lequel on a $U_{n} ⩽ 10 000$
d. le nombre de termes inférieurs à 1 200
La valeur affichée est :
On cherche le plus petit entier n tel que $U_{n} ⩽ 10000$ . Soit $\begin{array}{l} 30400 \times {0,875}^{n} + 9600 ⩽ 10000 & \Leftrightarrow & 30400 \times {0,875}^{n} ⩽ 400 \\ \Leftrightarrow & {0,875}^{n} ⩽ \frac{4}{304} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,875}^{n}) ⩽ \ln (\frac{1}{76}) & La fonction logarithme est croissante \\ \Leftrightarrow & n \ln 0,875 ⩽ - \ln 76 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a et \ln \frac{1}{a} = - \ln a \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{- \ln 76}{\ln 0,875} & \ln 0,875 < 0 \end{array}$
Or $\frac{- \ln 76}{\ln 0,875} \approx 32,4$ par conséquent, le plus petit entier n pour lequel $U_{n} ⩽ 10000$ est 33.
a. 33
b. 34
c. 9 600
d. 9 970,8

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.