Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Centres Étrangers 2013

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Les services de la mairie d'une ville ont étudié l'évolution de la population de cette ville. Chaque année, 12,5% de la population quitte la ville et 1 200 personnes s'y installent.
En 2012, la ville comptait 40 000 habitants.
On note Un le nombre d'habitants de la ville en l'année 2012 + n. On a donc U0=40 000.
On admet que la suite Un est définie pour tout entier naturel n par Un+1=0,875×Un+1 200.
On considère la suite Vn définie pour tout entier naturel n par Vn=Un-9600.

Les questions numérotées de 1 à 5 de cet exercice forment un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées : une seule réponse est exacte.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n'est demandée.

  1. La valeur de U1 est :

     a.   6 200

     b.   35 000

     c.   36 200

     d.   46 200

  2. La suite Vn est :

     a.   géométrique de raison -12,5%

     b.   géométrique de raison 0,875

     c.   géométrique de raison -0,875

     d.   arithmétique de raison -9600

  3. La suite Un a pour limite :

     a.   +

     b.   0

     c.   1 200

     d.   9 600

  4. On considère l'algorithme suivant :

    variables :

    U, N

    initialisation :

    U prend la valeur 40 000
    N prend la valeur 0

    traitement :

    Tant que U>10000
    N prend la valeur N+1
    U prend la valeur 0,875×U+1 200
    Fin du Tant que

    sortie :

    Afficher N

    Cet algorithme permet d'obtenir :

     a.   la valeur de U40 0000

     b.   toutes les valeurs de U0 à UN

     c.   le plus petit rang n pour lequel on a Un10 000

     d.   le nombre de termes inférieurs à 1 200

  5. La valeur affichée est :

     a.   33

     b.   34

     c.   9600

     d.   9970,8


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.

On sait que :

On désigne par E l'évènement « les sacs de pommes sont vendus sur l'exploitation » et par V l'évènement « les sacs contiennent des pommes de variétés différentes ».

L'évènement contraire de l'évènement A sera noté A¯.

On achète de façon aléatoire un sac de pommes.

  1. Traduire les trois données de l'énoncé en termes de probabilités.

  2. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.

  3. Définir par une phrase l'évènement EV puis calculer sa probabilité.

  4. Montrer que la probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est égale à 0,205.

  5. Le sac acheté contient des pommes d'une seule variété.
    Calculer la probabilité qu'il ait été acheté directement sur l'exploitation agricole, arrondir le résultat à 0,001 près.

  6. Des producteurs, interrogés lors de l'enquête, disposent ensemble de 45 000 sacs. Chaque sac, qu'il contienne un seul type de pommes ou des pommes de variétés différentes, est vendu 0,80 euro sur l'exploitation agricole et 3,40 euros dans des supermarchés.
    Calculer le montant total des ventes qu'ils peuvent prévoir.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d'activités d'une municipalité. Une arête reliant deux de ces sommets indique l'existence d'une voie d'accès principale entre deux lieux correspondants.

Graphe Γ : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Donner, sans justifier, le degré de chacun des sommets (la réponse pourra être présentée sous forme de tableau où les sommets seront mis dans l'ordre alphabétique).

    1. Donner la matrice M associée au graphe (les sommets seront mis dans l'ordre alphabétique).

    2. On donne la matrice M3=2785553781213128581212151313551315121312851213131012558131212873558572

      Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant A et F puis donner leur liste.

  2. Pour sa campagne électorale, un candidat souhaite parcourir toutes les voies d'accès principales de ce quartier sans emprunter plusieurs fois la même voie. Montrer qu'un tel parcours est possible.

  3. Dans le graphe ci-dessous, les valeurs indiquent, en minutes, les durées moyennes des trajets entre les différents lieux via les transports en commun.

    Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Ce même candidat se trouve à la mairie (A) quand on lui rappelle qu'il a un rendez-vous avec le responsable de l'hôpital situé en zone G.

    1. En utilisant l'algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin de durée minimale que ce candidat devra emprunter pour arriver à son rendez-vous.

    2. Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet ?


exercice 3 ( 6 points ) commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'intervalle 28 par fx=-x2+10x-16x2.
On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère.

  1. Montrer que pour tout réel de l'intervalle 28, on a fx=-10x+32x3

    1. Étudier le signe de fx sur l'intervalle 28.

    2. En déduire le tableau de variations de f sur l'intervalle 28.

  2. On appelle f la dérivée seconde de f sur 28.
    On admet que, pour tout réel x de l'intervalle 28, on a fx=20x-96x4

    1. Montrer que f est une fonction convexe sur 4,88.

    2. Montrer que le point de (C) d'abscisse 4,8 est un point d'inflexion.

  3. On considère la fonction F définie sur 28 par Fx=-x+10lnx+16x

    1. Montrer que F est une primitive de f sur 28.

    2. Calculer I=28fxdx.


exercice 4 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.

  1. Paul se connecte sur le site. La durée D (en seconde) qu'il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle 20120.

    1. Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes.

    2. Calculer l'espérance mathématique de D. Interpréter ce résultat.

  2. L'équipe est maintenant réunie et la partie peut commencer. La durée J (en minute) d'une partie est une variable aléatoire qui suit la loi normale 𝒩120400.

    1. Déterminer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire J.

    2. Montrer l'équivalence : 90<J<180-1,5<J-12020<3

    3. On définit la variable aléatoire X par X=J-12020. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire X.

    4. Déterminer la probabilité que la partie dure entre 90 et 180 minutes, à 0,001 près.




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