Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Centres Étrangers 2013

énoncé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $[2; 8]$ par $f (x) = \frac{- x^{2} + 10 x - 16}{x^{2}}$ .
On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère.

Montrer que pour tout réel de l'intervalle $[2; 8]$ , on a $f' (x) = \frac{- 10 x + 32}{x^{3}}$
1. Étudier le signe de $f' (x)$ sur l'intervalle $[2; 8]$ .
2. En déduire le tableau de variations de f sur l'intervalle $[2; 8]$ .
On appelle $f''$ la dérivée seconde de f sur $[2; 8]$ .
On admet que, pour tout réel x de l'intervalle $[2; 8]$ , on a $f'' (x) = \frac{20 x - 96}{x^{4}}$
1. Montrer que f est une fonction convexe sur $[4,8; 8]$ .
2. Montrer que le point de (C) d'abscisse 4,8 est un point d'inflexion.
On considère la fonction F définie sur $[2; 8]$ par $F (x) = - x + 10 \ln x + \frac{16}{x}$
1. Montrer que F est une primitive de f sur $[2; 8]$ .
2. Calculer $I = \int_{2}^{8} f (x) d x$ .

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