Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Centres Étrangers 2013

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.

On sait que :

  • 15% des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés.
  • Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes.
  • Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, l0% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes.

On désigne par E l'évènement « les sacs de pommes sont vendus sur l'exploitation » et par V l'évènement « les sacs contiennent des pommes de variétés différentes ».

L'évènement contraire de l'évènement A sera noté A¯.

On achète de façon aléatoire un sac de pommes.

  1. Traduire les trois données de l'énoncé en termes de probabilités.

    • 15% des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés donc :

      pE=0,15 et pE¯=0,85


    • Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes donc :

      pEV=0,8 et pEV¯=0,2


    • Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, l0% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes donc :

      pE̅V=0,1 et pĒV¯=0,9


  2. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Définir par une phrase l'évènement EV puis calculer sa probabilité.

    EV est l'évènement « le sac de pommes est acheté sur l'exploitation et contient des pommes de variétés différentes ». pEV=pEV×pE=0,8×0,15=0,12

    La probabilité d'acheter sur l'exploitation un sac de pommes de variétés différentes est égale à 0,12.


  4. Montrer que la probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est égale à 0,205.

    Les évènements E et V sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :pB=pBA+pBA¯
    pV=pEV+pE¯V

    Or : pE¯V=pE¯V×pE¯soitpE¯V=0,1×0,85=0,085

    D'où pV=0,12+0,085=0,205

    La probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est égale à 0,205.


  5. Le sac acheté contient des pommes d'une seule variété. Calculer la probabilité qu'il ait été acheté directement sur l'exploitation agricole, arrondir le résultat à 0,001 près.

    pEV¯=pEV¯×pEsoitpEV¯=0,2×0,15=0,03

    pV¯E=pEV¯pV¯SoitpV¯E=0,031-0,2050,0377

    La probabilité que le sac contennant des pommes d'une seule variété ait été acheté directement sur l'exploitation agricole, est égale à 0,038.


  6. Des producteurs, interrogés lors de l'enquête, disposent ensemble de 45 000 sacs. Chaque sac, qu'il contienne un seul type de pommes ou des pommes de variétés différentes, est vendu 0,80 euro sur l'exploitation agricole et 3,40 euros dans des supermarchés. Calculer le montant total des ventes qu'ils peuvent prévoir.

    Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le prix de vente en euros d'un sac. La loi de probabilité de X est :

    xi0,83,4
    PX=xi0,150,85

    L'espérance mathématique de cette loi est :EX=0,8×0,15+3,4×0,85=3,01

    Le montant de la recette moyenne est :450000×3,01=135450

    Le montant total des ventes prévisible est de 135 450 euros.



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