sujet : Centres Étrangers 2013

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

1. Traduire les trois données de l'énoncé en termes de probabilités.

   • 15% des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés donc :

     $p\left(E\right)=\mathrm{0,15}$ et $p\left(\overline{E}\right)=\mathrm{0,85}$

     ---

   • Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes donc :

     $p_E\left(V\right)=\mathrm{0,8}$ et $p_E\left(\overline{V}\right)=\mathrm{0,2}$

     ---

   • Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, l0% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes donc :

     $p_{\bar{E}}\left(V\right)=\mathrm{0,1}$ et $p_{\bar{E}}\left(\overline{V}\right)=\mathrm{0,9}$

     ---

2. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.

3. Définir par une phrase l'évènement $E\cap V$ puis calculer sa probabilité.

   $E\cap V$ est l'évènement « le sac de pommes est acheté sur l'exploitation et contient des pommes de variétés différentes ». $$\begin{array}{ccc}p\left(E\cap V\right)& =& p_E\left(V\right)\times p\left(E\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,8}\times \mathrm{0,15}\hfill \\ & =& \mathrm{0,12}\hfill \end{array}$$

   La probabilité d'acheter sur l'exploitation un sac de pommes de variétés différentes est égale à 0,12.

   ---

4. Montrer que la probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est égale à 0,205.

   Les évènements E et V sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(V\right)=p\left(E\cap V\right)+p\left(\overline{E}\cap V\right)$$

   Or : $$\begin{array}{ccc}p\left(\overline{E}\cap V\right)=p_{\overline{E}}\left(V\right)\times p\left(\overline{E}\right)& \text{soit}& p\left(\overline{E}\cap V\right)=\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,85}=\mathrm{0,085}\end{array}$$

   D'où $$p\left(V\right)=\mathrm{0,12}+\mathrm{0,085}=\mathrm{0,205}$$

   La probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est égale à 0,205.

   ---

5. Le sac acheté contient des pommes d'une seule variété. Calculer la probabilité qu'il ait été acheté directement sur l'exploitation agricole, arrondir le résultat à 0,001 près.

   $$\begin{array}{ccc}p\left(E\cap \overline{V}\right)=p_E\left(\overline{V}\right)\times p\left(E\right)& \text{soit}& p\left(E\cap \overline{V}\right)=\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,15}=\mathrm{0,03}\end{array}$$

   $$\begin{array}{ccc}{p}_{\overline{V}}\left(E\right)={\displaystyle \frac{p\left(E\cap \overline{V}\right)}{p\left(\overline{V}\right)}}& \text{Soit}& p_{\overline{V}}\left(E\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,03}}{1-\mathrm{0,205}}}\approx \mathrm{0,0377}\end{array}$$

   La probabilité que le sac contennant des pommes d'une seule variété ait été acheté directement sur l'exploitation agricole, est égale à 0,038.

   ---

6. Des producteurs, interrogés lors de l'enquête, disposent ensemble de 45 000 sacs. Chaque sac, qu'il contienne un seul type de pommes ou des pommes de variétés différentes, est vendu 0,80 euro sur l'exploitation agricole et 3,40 euros dans des supermarchés. Calculer le montant total des ventes qu'ils peuvent prévoir.

   Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le prix de vente en euros d'un sac. La loi de probabilité de X est :

   $x_i$	0,8	3,4
   $P\left(X=x_i\right)$	0,15	0,85

   L'espérance mathématique de cette loi est :$$\mathrm{E}\left(X\right)=\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,15}+\mathrm{3,4}\times \mathrm{0,85}=\mathrm{3,01}$$

   Le montant de la recette moyenne est :$$450000\times \mathrm{3,01}=135450$$

   Le montant total des ventes prévisible est de 135 450 euros.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.