Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Centres Étrangers 2013

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'intervalle 28 par fx=-x2+10x-16x2. On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère.

  1. Montrer que pour tout réel de l'intervalle 28, on a fx=-10x+32x3

    f est dérivable sur l'intervalle 28 comme quotient de deux fonctions dérivables.
    f=uv d'où f=uv-uvv2 avec pour tout réel x de l'intervalle 28 : {ux=-x2+10x-16 d'où ux=-2x+10 et vx=x2 d'où vx=2x

    Soit pour tout réel x de l'intervalle 28, fx=-2x+10×x2-2x×-x2+10x-16x4=-2x3+10x2+2x3-20x2+32xx4=-10x2+32xx4=-10x+32x3

    Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur 28 par fx=-10x+32x3.


    1. Étudier le signe de fx sur l'intervalle 28.

      Sur l'intervalle 28, x3>0. Donc fx est du même signe que -10x+32. Or -10x+320x3,2 Nous pouvons établir le tableau du signe de fx suivant les valeurs du réel x :

      x2 3,2 8
      Signe de fx +0|| 
    2. En déduire le tableau de variations de f sur l'intervalle 28.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de f :

      x23,28
      Signe de fx+0||
      Variations de f fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. On appelle f la dérivée seconde de f sur 28.
    On admet que, pour tout réel x de l'intervalle 28, on a fx=20x-96x4

    1. Montrer que f est une fonction convexe sur 4,88.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde

      Sur l'intervalle 28, x4>0. Donc fx est du même signe que 20x-96. Or 20x-960x9620D'où le tableau :

      x24,8+
      Signe de fx0||+
      variations de f fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
      Convexité de f

      f est concave

      f est convexe


      Ainsi, f est une fonction convexe sur 4,88.


    2. Montrer que le point de (C) d'abscisse 4,8 est un point d'inflexion.

      La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour x=4,8. Donc la courbe (C) admet au point d'abscisse 4,8 un point d'inflexion.


  3. On considère la fonction F définie sur 28 par Fx=-x+10lnx+16x

    1. Montrer que F est une primitive de f sur 28.

      Pour tout réel x de l'intervalle 28 :fx=-x2+10x-16x2=-1+10x-16x2

      Une primitive F de f est la fonction F définie sur 28 par Fx=-x+10lnx+16x.


    2. Calculer I=28fxdx.

      Comme F est une primitive de f sur 28 alors , 28fxdx=F8-F2=-8+10×ln8+2--2+10×ln2+8=-12+10×ln8-10×ln2=-12+30×ln2-10×ln2=-12+20×ln2

      I=28fxdx=20ln2-12



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