sujet : Centres Étrangers 2013

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left[2;8\right]$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{-x^2+10x-16}{x^2}}$. On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère.

1. Montrer que pour tout réel de l'intervalle $\left[2;8\right]$, on a $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-10x+32}{x^3}}$

   f est dérivable sur l'intervalle $\left[2;8\right]$ comme quotient de deux fonctions dérivables.
   $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[2;8\right]$ : $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=-x^2+10x-16\hfill & \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=-2x+10\hfill \\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2\hfill & \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[2;8\right]$, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(-2x+10\right)\times x^2-2x\times \left(-x^2+10x-16\right)}{x^4}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-2x^3+10x^2+2x^3-20x^2+32x}{x^4}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-10x^2+32x}{x^4}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-10x+32}{x^3}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur $\left[2;8\right]$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-10x+32}{x^3}}$.

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2. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[2;8\right]$.

      Sur l'intervalle $\left[2;8\right]$, $x^3>0$. Donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $-10x+32$. Or $$-10x+32⩽0\iff x⩾\mathrm{3,2}$$ Nous pouvons établir le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x :

      x	2		3,2		8
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−

   2. En déduire le tableau de variations de f sur l'intervalle $\left[2;8\right]$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de f :

      x	2		3,2		8
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−
      Variations de f

3. On appelle $f\prime \prime$ la dérivée seconde de f sur $\left[2;8\right]$.
   On admet que, pour tout réel x de l'intervalle $\left[2;8\right]$, on a $f\prime \prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{20x-96}{x^4}}$

   1. Montrer que f est une fonction convexe sur $\left[\mathrm{4,8};8\right]$.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde

      Sur l'intervalle $\left[2;8\right]$, $x^4>0$. Donc $f\prime \prime \left(x\right)$ est du même signe que $20x-96$. Or $$20x-96⩽0\iff x⩽{\displaystyle \frac{96}{20}}$$D'où le tableau :

      x	2		4,8		$+\infty$
      Signe de $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      variations de $f\prime$
      Convexité de f		f est concave		f est convexe

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      Ainsi, f est une fonction convexe sur $\left[\mathrm{4,8};8\right]$.

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   2. Montrer que le point de (C) d'abscisse 4,8 est un point d'inflexion.

      La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour $x=\mathrm{4,8}$. Donc la courbe (C) admet au point d'abscisse 4,8 un point d'inflexion.

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4. On considère la fonction F définie sur $\left[2;8\right]$ par $F\left(x\right)=-x+10\ln x+{\displaystyle \frac{16}{x}}$

   1. Montrer que F est une primitive de f sur $\left[2;8\right]$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[2;8\right]$ :$$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{-x^2+10x-16}{x^2}}=-1+{\displaystyle \frac{10}{x}}-{\displaystyle \frac{16}{x^2}}$$

      Une primitive F de f est la fonction F définie sur $\left[2;8\right]$ par $F\left(x\right)=-x+10\ln x+{\displaystyle \frac{16}{x}}$.

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   2. Calculer $I={\displaystyle {\int }_2^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      Comme F est une primitive de f sur $\left[2;8\right]$ alors , $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_2^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(8\right)-F\left(2\right)\hfill \\ & =& \left(-8+10\times \ln 8+2\right)-\left(-2+10\times \ln 2+8\right)\hfill \\ & =& -12+10\times \ln 8-10\times \ln 2\hfill \\ & =& -12+30\times \ln 2-10\times \ln 2\hfill \\ & =& -12+20\times \ln 2\hfill \end{array}$$

      $I={\displaystyle {\int }_2^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=20\ln 2-12$

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