sujet : Amérique du Nord 2014

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

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La courbe 𝒞 ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $\left[-5;5\right]$.
On note $f\prime$ la fonction dérivée de f.

1. Sur l'intervalle $\left[-5;5\right]$ :

   La courbe 𝒞 est au dessus de l'axe des abscisses donc f est une fonction positive.

   a.   f est une fonction de densité de probabilité	b.   f est positive
   c.   f n'est pas continue	d.   l'équation $f\prime \left(x\right)=0$ admet deux solutions

2. Sur l'intervalle $\left[-5;5\right]$, on a :

   La tangente à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 0 est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(0\right)=0$.

   a.   $f\prime \left(1\right)=0$

   b.  $f\prime \left(0\right)=1$

   c.   $f\prime \left(0\right)=0$

   d.   $f\prime \left(1\right)=1$

3. On admet qu'une équation de la tangente à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 4 est $y=-{\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{e}}^2}}+{\displaystyle \frac{5}{{\mathrm{e}}^2}}$. Le nombre dérivé de f en 4 est :

   Le nombre dérivé $f\prime \left(4\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 4 donc $f\prime \left(4\right)=-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^2}}$

   a.  $f\prime \left(4\right)={\displaystyle \frac{5}{{\mathrm{e}}^2}}$

   b.  $f\prime \left(4\right)={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^2}}$

   c.  $f\prime \left(4\right)=-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^2}}$

   d.  $f\prime \left(4\right)={\mathrm{e}}^{-2}$

4. On pose $A={\displaystyle {\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$. Un encadrement de A est :

   L'intégrale ${\displaystyle {\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ mesure en unités d'aire, l'aire du domaine compris entre la courbe 𝒞 l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-2$ et $x=2$. Or cette aire est comprise entre 3 et 4 unités d'aire.

   a.  $0<A<1$

   b.  $1<A<2$

   c.  $3<A<4$

   d.  $4<A<5$

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