sujet : Amérique du Nord 2014

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Un investisseur souhaite acheter un appartement dans l'objectif est de le louer. Pour cela, il s'intéresse à la rentabilité locative de cet appartement.
Les trois parties peuvent être traitées indépendamment. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 10^-4.

partie a

1. Traduire cette situation par un arbre pondéré.

   • 35% des appartements loués sont de type T1 ou T2 donc $P\left(T\right)=\mathrm{0,35}$ et $P\left(\overline{T}\right)=1-\mathrm{0,35}=\mathrm{0,65}$.

   • 45% des appartements loués de type T1 ou T2 sont rentables donc $P_T\left(R\right)=\mathrm{0,45}$.

   • 30% des appartements loués, qui ne sont ni de type T1 ni de type T2, sont rentables $P_{\overline{T}}\left(R\right)=\mathrm{0,3}$.

   D'où l'arbre pondéré traduisant cette situation :

2. Montrer que la probabilité qu'un appartement loué soit rentable est égale à 0,3525.

   Les évènements T et R sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(R\right)=P\left(R\cap T\right)+P\left(R\cap \overline{T}\right)$$

   Or $$\begin{array}{cccc}& P\left(R\cap T\right)=P_T\left(R\right)\times P\left(T\right)& \text{Soit}& P\left(R\cap T\right)=\mathrm{0,45}\times \mathrm{0,35}=\mathrm{0,1575}\hfill \\ \text{et}& P\left(R\cap \overline{T}\right)=P_{\overline{T}}\left(R\right)\times P\left(\overline{T}\right)& \text{Soit}& P\left(R\cap \overline{T}\right)=\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,65}=\mathrm{0,195}\hfill \end{array}$$

   On obtient alors $$P\left(R\right)=\mathrm{0,1575}+\mathrm{0,195}=\mathrm{0,3525}$$

   Ainsi, la probabilité qu'un appartement loué soit rentable est égale à 0,3525.

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3. Calculer la probabilité que l'appartement soit de type T1 ou T2, sachant qu'il est rentable.

   $$\begin{array}{ccc}{P}_R\left(T\right)={\displaystyle \frac{P\left(R\cap T\right)}{P\left(R\right)}}& \text{Soit}& P_R\left(T\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1575}}{\mathrm{0,3525}}}\approx \mathrm{0,4468}\end{array}$$

   La probabilité que l'appartement soit de type T1 ou T2, sachant qu'il est rentable est 0,4468.

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partie b

On considère X la variable aléatoire égale au nombre d'appartements rentables dans un échantillon aléatoire de 100 appartements loués. On admet que toutes les conditions sont réunies pour assimiler X à une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $\mu =35$ et d'écart type $\sigma =5$.

À l'aide de la calculatrice :

1. Calculer $P\left(25⩽X⩽35\right)$

   $P\left(25⩽X⩽35\right)\approx \mathrm{0,4772}$

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2. Calculer la probabilité qu'au moins 45 appartements parmi les 100 appartements loués soient rentables.

   $P\left(45⩽X⩽100\right)\approx \mathrm{0,0228}$

   La probabilité qu'au moins 45 appartements parmi les 100 appartements loués soient rentables est 0,0228.

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partie c

L'investisseur se rend dans une agence immobilière pour acheter un appartement et le louer. Le responsable de cette agence lui affirme que 60% des appartements sont rentables. Pour vérifier son affirmation, on a prélevé au hasard 280 dossiers d'appartements loués. Parmi ceux-ci, 120 sont rentables.

1. Déterminer la fréquence observée sur l'échantillon prélevé.

   $$f={\displaystyle \frac{120}{280}}={\displaystyle \frac{3}{7}}\approx \mathrm{0,4286}$$

   La fréquence des appartements rentables observée sur l'échantillon prélevé est environ 0,4286.

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2. Peut-on valider l'affirmation du responsable de cette agence ? Justifier cette réponse. On pourra s'aider du calcul d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.

   Comme $n=280$, $n\times p=280\times \mathrm{0,6}=168$ et $n\times \left(1-p\right)=280\times \mathrm{0,4}=112$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,6}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,4}}{280}}};\mathrm{0,6}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,4}}{280}}}\right]\end{array}$$

   Soit avec des valeurs approchées à ${10}^{-4}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des appartements rentables sur un échantillon de taille 280 est $I=\left[\mathrm{0,5426};\mathrm{0,6574}\right]$.

   La fréquence observée n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% on ne valide pas l'affirmation du responsable de l'agence.

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