Un investisseur souhaite acheter un appartement dans l'objectif est de le louer. Pour cela, il s'intéresse à la rentabilité locative de cet appartement.
Les trois parties peuvent être traitées indépendamment. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 10-4.
On considère deux types d'appartement :
Une étude des dossiers d'appartements loués dans un secteur ont montré que :
On choisit un dossier au hasard et on considère les évènements suivants :
Traduire cette situation par un arbre pondéré.
35% des appartements loués sont de type T1 ou T2 donc et .
45% des appartements loués de type T1 ou T2 sont rentables donc .
30% des appartements loués, qui ne sont ni de type T1 ni de type T2, sont rentables .
D'où l'arbre pondéré traduisant cette situation :
Montrer que la probabilité qu'un appartement loué soit rentable est égale à 0,3525.
Les évènements T et R sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales : forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
Alors la probabilité d'un événement B est donnée par :
Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :
Or
On obtient alors
Ainsi, la probabilité qu'un appartement loué soit rentable est égale à 0,3525.
Calculer la probabilité que l'appartement soit de type T1 ou T2, sachant qu'il est rentable.
La probabilité que l'appartement soit de type T1 ou T2, sachant qu'il est rentable est 0,4468.
On considère X la variable aléatoire égale au nombre d'appartements rentables dans un échantillon aléatoire de 100 appartements loués. On admet que toutes les conditions sont réunies pour assimiler X à une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne et d'écart type .
À l'aide de la calculatrice :
Calculer
Calculer la probabilité qu'au moins 45 appartements parmi les 100 appartements loués soient rentables.
La probabilité qu'au moins 45 appartements parmi les 100 appartements loués soient rentables est 0,0228.
L'investisseur se rend dans une agence immobilière pour acheter un appartement et le louer. Le responsable de cette agence lui affirme que 60% des appartements sont rentables. Pour vérifier son affirmation, on a prélevé au hasard 280 dossiers d'appartements loués. Parmi ceux-ci, 120 sont rentables.
Déterminer la fréquence observée sur l'échantillon prélevé.
La fréquence des appartements rentables observée sur l'échantillon prélevé est environ 0,4286.
Peut-on valider l'affirmation du responsable de cette agence ? Justifier cette réponse. On pourra s'aider du calcul d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.
Comme , et , les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est :
Soit avec des valeurs approchées à près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des appartements rentables sur un échantillon de taille 280 est .
La fréquence observée n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% on ne valide pas l'affirmation du responsable de l'agence.
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