sujet : Amérique du Sud 2014

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ par $f\left(x\right)=\left(3x-4\right){\mathrm{e}}^{-x}+2$.

1. On désigne par $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Montrer que l'on a, pour tout x appartenant à l'intervalle $\left[0;4\right]$, $f\prime \left(x\right)=\left(7-3x\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

   f est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables : $f=uv+2$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;4\right]$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=3x-4\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=3\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;4\right]$, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& 3{\mathrm{e}}^{-x}+\left(3x-4\right)\times \left(-{\mathrm{e}}^{-x}\right)\hfill \\ & =& 3{\mathrm{e}}^{-x}-3x{\mathrm{e}}^{-x}+4{\mathrm{e}}^{-x}\hfill \\ & =& 7{\mathrm{e}}^{-x}-3x{\mathrm{e}}^{-x}\hfill \\ & =& \left(7-3x\right){\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\left(7-3x\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

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2. Étudier les variations de f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ puis dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle. Toutes les valeurs du tableau seront données sous forme exacte.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ donc sur l'intervalle $\left[0;4\right]$, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(7-3x\right)$.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :

   x	0		${\displaystyle \frac{7}{3}}$		4
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$	$-2$		$3{\mathrm{e}}^{-\frac{7}{3}}+2$		$8{\mathrm{e}}^{-4}+2$

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3. 1. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α sur l'intervalle $\left[0;4\right]$.

      • Sur l'intervalle $\left[0;{\displaystyle \frac{7}{3}}\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante avec $f\left(0\right)=-2$ et $f\left({\displaystyle \frac{7}{3}}\right)>2$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire,Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. :
        l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha \in \left[0;{\displaystyle \frac{7}{3}}\right]$.

      • Sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{7}{3}};4\right]$, la fonction f est strictement décroissante et $f\left(4\right)>2$ donc l'équation $f\left(x\right)=0$ n'a pas de solution sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{7}{3}};4\right]$.

      L'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α sur l'intervalle $\left[0;4\right]$.

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   2. Donner à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de α à 0,01 près.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \mathrm{0,37}$.

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4. On considère la fonction F définie sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ par $F\left(x\right)=\left(1-3x\right){\mathrm{e}}^{-x}+2x$.

   1. Montrer que F est une primitive de f sur $\left[0;4\right]$.

      F est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables : $F=uv+w$ d'où $F\prime =u\prime v+uv\prime +w\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;4\right]$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=1-3x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=-3\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\hfill \\ w\left(x\right)=2x\hfill & \text{;}& w\prime \left(x\right)=2\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;4\right]$, $$\begin{array}{ccc}F\prime \left(x\right)& =& -3{\mathrm{e}}^{-x}+\left(1-3x\right)\times \left(-{\mathrm{e}}^{-x}\right)+2\hfill \\ & =& \left(-3-\left(1-3x\right)\right)\times {\mathrm{e}}^{-x}+2\hfill \\ & =& \left(3x-4\right){\mathrm{e}}^{-x}+2\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;4\right]$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc la fonction F est une primitive de la fonction f sur $\left[0;4\right]$.

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   2. Calculer la valeur moyenne de f sur $\left[0;4\right]$.

      La valeur myenne de f sur $\left[0;4\right]$ est :$$\begin{array}{ccc}m={\displaystyle \frac{1}{4-0}}{\displaystyle {\int }_0^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\times \left[F\left(4\right)-F\left(0\right)\right]\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\times \left[\left(8-11{\mathrm{e}}^{-4}\right)-1\right]\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{7-11{\mathrm{e}}^{-4}}{4}}\hfill \end{array}$$

      La valeur moyenne de f sur $\left[0;4\right]$ est égale à ${\displaystyle \frac{7-11{\mathrm{e}}^{-4}}{4}}$.

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5. On admet que la dérivée seconde de la fonction f est la fonction $f″$ définie sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ par $f″\left(x\right)=\left(3x-10\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

   1. Déterminer l'intervalle sur lequel la fonction f est convexe.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde.
      Comme pour tout réel x${\mathrm{e}}^{-x}>0$, on en déduit que sur l'intervalle $\left[0;4\right]$, $f″\left(x\right)$ est du même signe que $\left(3x-10\right)$. Or $$3x-10⩾0\iff x⩾{\displaystyle \frac{10}{3}}$$

      Nous pouvons en déduire le tableau du signe de la dérivée seconde :

      x	0		${\displaystyle \frac{10}{3}}$		4
      Signe de $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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      La fonction f est convexe sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{10}{3}};4\right]$.

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   2. Montrer que la courbe représentative $𝒞$ de la fonction f possède un point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.

      La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour $x={\displaystyle \frac{10}{3}}$ donc la courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion d'abscisse ${\displaystyle \frac{10}{3}}$.

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