sujet : Amérique du Sud 2014

correction de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Une agence de presse a la charge de la publication d'un journal hebdomadaire traitant des informations d'une communauté de communes dans le but de mieux faire connaître les différents évènements qui s'y déroulent.
Un sondage prévoit un accueil favorable de ce journal dans la population.
Une étude de marché estime à 1200 le nombre de journaux vendus lors du lancement du journal avec une progression des ventes de 2 % chaque semaine pour les éditions suivantes.
L'agence souhaite dépasser les 4000 journaux vendus par semaine.
On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de journaux vendus n semaines après le début de l'opération. On a donc $u_0=1200$.

1. Calculer le nombre $u_1$ de journaux vendus une semaine après le début de l'opération.

   $$u_1=1200\times \left(1+{\displaystyle \frac{2}{100}}\right)=1224$$

   Selon ce modèle, une semaine après le début de l'opération 1224 journaux seront vendus.

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2. Écrire, pour tout entier naturel n, l'expression de $u_n$ en fonction de n.

   Pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{1,02}{u}_n$ donc $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,02.

   $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme $u_0=1200$ donc :

   pour tout entier naturel n, $u_n=1200\times {\mathrm{1,02}}^n$.

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3. Déterminer à partir de combien de semaines le nombre de journaux vendus sera supérieur à 1500.

   Le nombre de semaines à partir duquel le nombre de journaux vendus sera supérieur à 1500 est le plus petit entier n tel que $$\begin{array}{ccc}1200\times {\mathrm{1,02}}^n>1500& \iff & {\mathrm{1,02}}^n>{\displaystyle \frac{1500}{1200}}\hfill \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{1,02}}^n\right)>\ln \mathrm{1,25}\hfill \\ & \iff & n\times \ln \mathrm{1,02}>\ln \mathrm{1,25}\hfill \\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{1,25}}{\ln \mathrm{1,02}}}\hfill \end{array}$$

   Comme ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{1,25}}{\ln \mathrm{1,02}}}\approx \mathrm{11,3}$ alors $n=12$

   Le nombre de journaux vendus sera supérieur à 1500 à partir de 12 semaines.

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4. Voici un algorithme :

   variables :	U est un réel N est un entier naturel
   initialisation :	U prend la valeur 1200 N prend la valeur 0
   traitement :	Tant que $U<4000$ N prend la valeur $N+1$ U prend la valeur $\mathrm{1,02}\times U$ Fin du Tant que
   Sortie :	Afficher N

   1. Déterminer la valeur de N affichée par cet algorithme.

      • On peut programmer l'algorithme sur la calculatrice :

        TEXAS	CASIO
        PROGRAM : SEUIL	===== SEUIL =====
        : 1200 → U : 0 → N : While U < 4000 : N+1 → N : 1,02*U → U : End : Disp N	1200 → U ↵ 0 → N ↵ While U < 4000 ↵ N+1 → N ↵ 1,02*U → U ↵ WhileEnd ↵ N

      • ou résoudre l'inéquation $$\begin{array}{ccc}1200\times {\mathrm{1,02}}^n⩾4000& \iff & {\mathrm{1,02}}^n⩾{\displaystyle \frac{4000}{1200}}\hfill \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{1,02}}^n\right)⩾\ln \left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)\hfill \\ & \iff & n\times \ln \mathrm{1,02}⩾\ln \left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)\hfill \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)}{\ln \mathrm{1,02}}}\approx \mathrm{60,8}\hfill \end{array}$$

      La valeur de N affichée par cet algorithme est 61.

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   2. Interpréter le résultat précédent.

      Le nombre de journaux vendus sera supérieur à 4000 à partir de 61 semaines.

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5. 1. Montrer que, pour tout entier n, on a : $1+\mathrm{1,02}+{\mathrm{1,02}}^2+\dots +{\mathrm{1,02}}^n=50\times \left({\mathrm{1,02}}^{n+1}-1\right)$.

      Pour tout entier n, $$1+\mathrm{1,02}+{\mathrm{1,02}}^2+\dots +{\mathrm{1,02}}^n={\displaystyle \frac{1-{\mathrm{1,02}}^{n+1}}{1-\mathrm{1,02}}}={\displaystyle \frac{1-{\mathrm{1,02}}^{n+1}}{-\mathrm{0,02}}}=50\times \left({\mathrm{1,02}}^{n+1}-1\right)$$

      Ainsi, pour tout entier n, on a : $1+\mathrm{1,02}+{\mathrm{1,02}}^2+\dots +{\mathrm{1,02}}^n=50\times \left({\mathrm{1,02}}^{n+1}-1\right)$.

      ---

   2. On pose, pour tout entier n, $S_n=u_0+u_1+\dots +u_n$. À l'aide de la question précédente, montrer que l'on a : $S_n=60000\times \left({\mathrm{1,02}}^{n+1}-1\right)$.

      Pour tout entier n, $$S_n=u_0+u_1+\dots +u_n=1200\times {\displaystyle \frac{1-{\mathrm{1,02}}^{n+1}}{1-\mathrm{1,02}}}=60000\times \left({\mathrm{1,02}}^{n+1}-1\right)$$

      Ainsi, $S_n=60000\times \left({\mathrm{1,02}}^{n+1}-1\right)$.

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   3. Déduire de la question précédente le nombre total de journaux vendus au bout de 52 semaines. Le résultat sera arrondi à l'unité.

      $$S_{52}=60000\times \left({\mathrm{1,02}}^{53}-1\right)\approx 111380$$

      En 52 semaines, 111380 journaux ont été vendus.

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