Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Sud 2014

Corrigé de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.
Les probabilités et les fréquences demandées seront données à 0,001 près.
Dans un atelier de confiserie, une machine remplit des boîtes de berlingots après avoir mélangé différents arômes.

partie 1

On admet que la variable aléatoire X qui, à chaque boîte prélevée au hasard, associe sa masse (en gramme) est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la loi normale de paramètres $μ = 500$ et $σ = 9$ .

1. À l'aide de la calculatrice, déterminer la probabilité que la masse X soit comprise entre 485 g et 515 g.
  $P (485 ⩽ X ⩽ 515) \approx 0,904$
  La probabilité que la masse X soit comprise entre 485 g et 515 g est 0,904.
2. L'atelier proposera à la vente les boîtes dont la masse est comprise entre 485 g et 515 g. Déterminer le nombre moyen de boîtes qui seront proposées à la vente dans un échantillon de 500 boîtes prélevées au hasard.
  La production est suffisamment importante pour assimiler cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.
  Soit Y le nombre de boîtes dont la masse est comprise entre 485 g et 515 g.
  La production étant suffisamment importante pour assimiler cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise, Y suit la loi binomiale de paramètres 0,904 et 500.
  L'espérance de mathématique de Y est : $E (Y) = 500 \times 0,904 = 452$
  Le nombre moyen de boîtes qui seront proposées à la vente dans un échantillon de 500 boîtes est 452.
À l'aide de la calculatrice, déterminer la probabilité que la masse X soit supérieure ou égale à 490 g.
La calculatrice permet de déterminer la probabilité $P (a ⩽ X ⩽ b)$ quand X suit la loi normale : $\begin{matrix} P (X ⩾ 490) & = & P (490 ⩽ X ⩽ 500) + P (X ⩾ 500) \\ = & P (490 ⩽ X ⩽ 500) + 0,5 \\ \approx & 0,867 \end{matrix}$
La probabilité, arrondie au millième, que la masse X soit supérieure ou égale à 490 g est égale à 0,867.
1. À l'aide de la calculatrice, déterminer à l'unité près l'entier m tel que $P (X ⩽ m) = 0,01$ .
  Le plus grand entier m tel que $P (X ⩽ m) ⩽ 0,01$ est $m = 479$ .
2. Interpréter ce résultat.
  Environ 1 % des boîtes ont une masse inférieure ou égale à 479 g.

partie 2

La machine est conçue pour que le mélange de berlingots comporte 25 % de berlingots parfumés à l'anis.
On prélève 400 berlingots au hasard dans le mélange et on constate que 84 sont parfumés à l'anis.

Déterminer un intervalle I de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des berlingots parfumés à l'anis dans un échantillon de 400 berlingots.
Comme $n = 400$ , $n \times p = 100$ et $n \times (1 - p) = 300$ , les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $\begin{matrix} I = [0,25 - 1,96 \times \sqrt{\frac{0,25 \times 0,75}{400}}; 0,25 + 1,96 \times \sqrt{\frac{0,25 \times 0,75}{400}}] \end{matrix}$
Soit en arrondissant à $10^{- 3}$ près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des berlingots parfumés à l'anis dans un échantillon de 400 berlingots est $I = [0,207; 0,293]$ .
Calculer la fréquence f des berlingots parfumés à l'anis dans l'échantillon prélevé.
La fréquence observée des berlingots parfumés à l'anis dans l'échantillon est $f = \frac{84}{400} = 0,21$
Déterminer si, au seuil de confiance de 95 %, la machine est correctement programmée.
La fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, la machine est donc correctement programmée.

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