Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Centres Étrangers 2014

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Dans une ville, un nouveau lycée vient d'ouvrir ses portes et accueille pour sa première rentrée 500 élèves. D'une année sur l'autre, le proviseur du lycée prévoit une perte de 30% de l'effectif et l'arrivée de 300 nouveaux élèves.
On modélise cette situation par une suite numérique (un)un représente le nombre d'élèves inscrits au lycée pour l'année 2013+n, avec n entier naturel. On a donc u0=500.

    1. Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 2014.

      500×0,7+300=650

      650 élèves seront inscrits au lycée en 2014.


    2. Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 2015.

      650×0,7+300=755

      755 élèves seront inscrits au lycée en 2014.


  1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : un+1=0,7un+300

    D'une année sur l'autre, le proviseur du lycée prévoit une perte de 30% de l'effectif et l'arrivée de 300 nouveaux élèves d'où :

    pour tout entier naturel n, un+1=0,7un+300.


  2. On souhaite, pour un entier n donné, afficher tous les termes de la suite (un) du rang 0 au rang n.
    Lequel des trois algorithmes suivants permet d'obtenir le résultat souhaité ? Justifier.

    Algorithme 1Algorithme 2Algorithme 3

    variables :

    n, i entiers naturels
    u un nombre réel.

    Début de l'algorithme

    Lire n
    u prend la valeur 500

    Pour i allant de 1 à n
    Afficher u
    u prend la valeur 0,7×u+300
    Fin Pour

    Fin de l'algorithme

    variables :

    n, i entiers naturels
    u un nombre réel.

    Début de l'algorithme

    Lire n
    u prend la valeur 500

    Pour i allant de 1 à n
    Afficher u
    u prend la valeur 0,7×u+300
    Fin Pour

    Afficher u

    Fin de l'algorithme

    variables :

    n, i entiers naturels
    u un nombre réel.

    Début de l'algorithme

    Lire n
    u prend la valeur 500

    Pour i allant de 1 à n
    u prend la valeur 0,7×u+300
    Fin Pour

    Afficher u

    Fin de l'algorithme


    On souhaite afficher tous les termes de la suite (un) du rang 0 au rang n. Par conséquent l'affichage doit se trouver à l'intérieur de la boucle Pour

    • L'algorithme 3 ne convient pas car il n'affiche en sortie que le terme de rang n .

    • L'algorithme 1 ne convient pas car il n'affiche pas le terme de rang n .

    L'algorithme 1 convient : à l'intérieur de la boucle Pour on affiche les termes du rang 0 à n puis la boucle étant terminée, on affiche le terme de rang n.


  3. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par : vn=un-1000.

    1. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison q=0,7.

      Pour tout entier n, vn+1=un+1-1000=0,7un+300-1000=0,7un-700=0,7×(un-1000)=0,7vn

      Pour tout entier n, vn+1=0,7vn donc (vn) est une suite géométrique de raison 0,7..


    2. En déduire que pour tout entier naturel n, un=1000-500×0,7n.

      (vn) est une suite géométrique de raison 0,7 et de premier terme v0=u0-1000=-500 donc pour tout entier n, vn=-500×0,7n

      Comme pour tout tout entier naturel n, vn=un-1000un=vn+1000, on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, un=1000-500×0,7n.


    3. Déterminer la limite de la suite (un).

      0<0,7<1 donc limn+0,7n=0 d'où, limn+1000-500×0,7n=1000. Soit limn+un=1000.

      Donc la suite (un) converge vers 1000.


    4. Interpréter le résultat précédent.

      La suite (un) converge vers 1000 donc à partir d'un certain nombre d'années, chaque année il y aura environ 1000 élèves.


    1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation un990.

      Pour tout entier n, un9901000-500×0,7n990-500×0,7n-100,7n0,02ln(0,7n)ln0,02 La fonction  ln est strictement croissantenln0,7ln0,02Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier nlnan=nlnanln0,02ln0,7ln0,7<0

      Comme ln0,02ln0,711

      Les solutions entières de l'inéquation un990 sont les entiers naturels n11.


    2. Interpréter le résultat trouvé précédemment.

      À partir de 2024, le nombre d'élèves du lycée sera supérieur à 990.



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