Dans une ville, un nouveau lycée vient d'ouvrir ses portes et accueille pour sa première rentrée 500 élèves. D'une année sur l'autre, le proviseur du lycée prévoit une perte de 30% de l'effectif et l'arrivée de 300 nouveaux élèves.
On modélise cette situation par une suite numérique où représente le nombre d'élèves inscrits au lycée pour l'année , avec n entier naturel. On a donc .
Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 2014.
650 élèves seront inscrits au lycée en 2014.
Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 2015.
755 élèves seront inscrits au lycée en 2014.
Justifier que, pour tout entier naturel n, on a :
D'une année sur l'autre, le proviseur du lycée prévoit une perte de 30% de l'effectif et l'arrivée de 300 nouveaux élèves d'où :
pour tout entier naturel n, .
On souhaite, pour un entier n donné, afficher tous les termes de la suite du rang 0 au rang n.
Lequel des trois algorithmes suivants permet d'obtenir le résultat souhaité ? Justifier.
Algorithme 1 | Algorithme 2 | Algorithme 3 | ||
variables : n, i entiers naturels Début de l'algorithme Lire n Pour i allant de 1 à n Fin de l'algorithme | variables : n, i entiers naturels Début de l'algorithme Lire n Pour i allant de 1 à n Afficher u Fin de l'algorithme | variables : n, i entiers naturels Début de l'algorithme Lire n Pour i allant de 1 à n Afficher u Fin de l'algorithme |
On souhaite afficher tous les termes de la suite du rang 0 au rang n. Par conséquent l'affichage doit se trouver à l'intérieur de la boucle Pour
L'algorithme 3 ne convient pas car il n'affiche en sortie que le terme de rang n .
L'algorithme 1 ne convient pas car il n'affiche pas le terme de rang n .
L'algorithme 1 convient : à l'intérieur de la boucle Pour on affiche les termes du rang 0 à puis la boucle étant terminée, on affiche le terme de rang n.
On considère la suite définie pour tout entier naturel n par : .
Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison .
Pour tout entier n,
Pour tout entier n, donc est une suite géométrique de raison 0,7..
En déduire que pour tout entier naturel n, .
est une suite géométrique de raison 0,7 et de premier terme donc pour tout entier n,
Comme pour tout tout entier naturel n, , on en déduit que :
pour tout entier naturel n, .
Déterminer la limite de la suite .
donc d'où, . Soit .
Donc la suite converge vers 1000.
Interpréter le résultat précédent.
La suite converge vers 1000 donc à partir d'un certain nombre d'années, chaque année il y aura environ 1000 élèves.
Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation .
Pour tout entier n,
Comme
Les solutions entières de l'inéquation sont les entiers naturels .
Interpréter le résultat trouvé précédemment.
À partir de 2024, le nombre d'élèves du lycée sera supérieur à 990.
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