Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Centres Étrangers 2014

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Une grande entreprise vient de clôturer sa campagne de recrutement qui s'est déroulée en deux temps :

premier temps : étude du dossier présenté par le candidat ;
deuxième temps : entretien en vue du recrutement.

Le processus de recrutement mis en œuvre par l'entreprise est le suivant :

si le dossier est jugé de bonne qualité, alors le candidat est reçu en entretien par le directeur des ressources humaines ;
si le dossier n'est pas jugé de bonne qualité, alors le candidat subit des tests puis est reçu en entretien par le directeur de l'entreprise.

Dans les deux cas, à l'issue de l'entretien, le candidat est recruté ou ne l'est pas.
À l'issue de cette campagne de recrutement, l'entreprise publie les résultats suivants :

30 % des candidats avaient un dossier jugé de bonne qualité ;
20 % des candidats n'ayant pas un dossier jugé de bonne qualité ont été recrutés ;
38 % des candidats ont été recrutés.

On prend un candidat au hasard et on note :
- D l'évènement « le candidat a un dossier jugé de bonne qualité » ;
- R l'évènement « le candidat est recruté par l'entreprise ».
1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
  D'après les données de l'énoncé :
  - 30 % des candidats avaient un dossier jugé de bonne qualité d'où $p (D) = 0,3$ et $p (\bar{D}) = 0,7$ .
  - 20 % des candidats n'ayant pas un dossier jugé de bonne qualité ont été recrutés d'où $p_{\overset{̅}{D}} (R) = 0,2$ et $p_{\bar{D}} (\bar{R}) = 0,8$
  On en déduit l'arbre pondéré traduisant la situation :
2. Calculer la probabilité que le candidat n'ait pas un dossier de bonne qualité et ne soit pas recruté par l'entreprise.
  $\begin{matrix} p (\overset{̅}{D} \cap \overset{̅}{R}) & = & p_{\overset{̅}{D}} (\overset{̅}{R}) \times p (\overset{̅}{D}) \\ = & 0,8 \times 0,7 \\ = & 0,56 \end{matrix}$
  La probabilité qu'un candidat n'ait pas un dossier de bonne qualité et ne soit pas recruté par l'entreprise est égale à 0,56.
3. Montrer que la probabilité de l'évènement $D \cap R$ est égale a 0,24.
  Les évènements D et R sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
  Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
  Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $\begin{matrix} p (R) = p (D \cap R) + p (\bar{D} \cap R) & \Leftrightarrow & p (D \cap R) = p (R) - p (\bar{D} \cap R) \end{matrix}$
  Comme $p (R) = 0,38$ et que $\begin{matrix} p (\overset{̅}{D} \cap R) & = & p_{\overset{̅}{D}} (R) \times p (\overset{̅}{D}) \\ = & 0,2 \times 0,7 \\ = & 0,14 \end{matrix}$
  On en déduit que : $p (D \cap R) = 0,38 - 0,14 = 0,24$
  La probabilité qu'un candidat ait un dossier de bonne qualité et soit recruté par l'entreprise est égale à 0,24.
4. En déduire la probabilité qu'un candidat soit recruté sachant que son dossier est jugé de bonne qualité. Compléter l'arbre pondéré réalisé dans la question a).
  $\begin{matrix} p_{D} (R) = \frac{p (D \cap R)}{p (D)} & Soit & p_{D} (R) = \frac{0,24}{0,3} = 0,8 \end{matrix}$
  La probabilité qu'un candidat soit recruté sachant que son dossier est jugé de bonne qualité est égale à 0,8.
Dix personnes postulent pour un emploi dans l'entreprise. Les études de leurs candidatures sont faites indépendamment les unes des autres. On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi les 10 personnes.
1. Justifier que X suit une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,38$ .
  Les études des dix candidatures sont faites indépendamment les unes des autres et la probabilité pour un candidat d'être recruté est égale à 0,38 donc X suit une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,38$ .
2. Calculer la probabilité qu'au moins une des dix personnes soit recrutée. On donnera la valeur exacte puis une valeur du résultat arrondie à 10^-3.
  $\begin{matrix} p (X ⩾ 1) = 1 - p (X = 0) & soit & p (X ⩾ 1) = 1 - {(1 - 0,38)}^{10} \approx 0,992 \end{matrix}$
  La probabilité qu'au moins une des dix personnes soit recrutée est environ 0,992
Deux amis, Aymeric et Coralie, sont convoqués le même jour pour un entretien avec la direction des ressources humaines.
Coralie arrive à 8h 30 alors qu'Aymeric arrive au hasard entre 8h et 9h.
On désigne par T la variable aléatoire donnant l'heure d'arrivée d'Aymeric et on admet que T suit la loi uniforme sur l'intervalle $[8; 9]$ .
Déterminer la probabilité pour que Coralie attende Aymeric plus de dix minutes.
Coralie attendra Aymeric plus de dix minutes quand Aymeric arrive entre 8h 40 et 9h
Exprimé en minutes, le temps d'attente Y après 8 h de l'arrivée d'Aymeric suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0; 60]$ .
La probabilité que Coralie attende Aymeric plus de dix minutes est alors la probabilité de l'évènement ${40 ⩽ Y ⩽ 60}$ . Soit $P (40 ⩽ Y ⩽ 60) = \frac{60}{60} - \frac{40}{60} = \frac{1}{3}$
La probabilité pour que Coralie attende Aymeric plus de dix minutes est égale à $\frac{1}{3}$ .

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