Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France métropolitaine, La Réunion septembre 2014

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Avant de réaliser une opération marketing en début de saison, un revendeur de piscines fait une étude dans son fichier client. Il s'intéresse à deux caractéristiques :

Le type de piscine déjà installée (piscine traditionnelle, piscine en bois, coque en résine) ;
l'existence d'un système de chauffage.

Il obtient les résultats suivants :

50 % des clients choisissent une piscine traditionnelle, et parmi eux, 80 % ont fait installer un système de chauffage ;
40 % des clients choisissent une piscine avec coque en résine, dont 60 % seront chauffées ;
les autres clients ont préféré une piscine en bois.

On choisit au hasard la fiche d'un client dans le fichier informatique du revendeur de piscine, chaque fiche ayant la même probabilité d'être tirée.
On note les évènements suivants :

T : « Le client choisit une piscine traditionnelle » ;
R : « Le client choisit une piscine avec coque en résine » ;
B : « Le client choisit une piscine en bois » ;
C : « Le client fait installer un chauffage ».

On note $p (T)$ la probabilité de l'évènement T et $p_{T} (C)$ la probabilité de l'évènement C sachant que l'évènement T est réalisé.
Pour tout évènement A, on note $\bar{A}$ l'évènement contraire de l'évènement A.

Lorsque ce sera nécessaire, les résultats demandés seront arrondis au millième.

partie a

Construire un arbre pondéré représentant cette situation. L'arbre pourra être complété tout au long de cet exercice.
On sait que :
- 50 % des clients choisissent une piscine traditionnelle, et parmi eux, 80 % ont fait installer un système de chauffage d'où $p (T) = 0,5$ et $p_{T} (C) = 0,8$ ;
- 40 % des clients choisissent une piscine avec coque en résine, dont 60 % seront chauffées d'où $p (R) = 0,4$ et $p_{R} (C) = 0,6$ ;
- les autres clients ont préféré une piscine en bois d'où $p (B) = 1 - (p (T) + p (R)) = 0,1$
D'où l'arbre pondéré représentant la situation :
Montrer que la probabilité que le client choisisse une piscine traditionnelle chauffée est 0,4.
$\begin{matrix} p (T \cap C) & = & p_{T} (C) \times p (T) \\ = & 0,8 \times 0,5 \\ = & 0,4 \end{matrix}$
La probabilité que le client choisisse une piscine traditionnelle chauffée est égale à 0,4.
On sait aussi que 70 % des clients ont choisi de faire installer un chauffage pour leur piscine.
1. Calculer la probabilité $p (B \cap C)$ .
  Les évènements T, R et B forment une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire. D'après la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
  Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
  Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $\begin{matrix} p (C) = p (T \cap C) + p (R \cap C) + p (B \cap C) & \Leftrightarrow & p (B \cap C) = p (C) - p (T \cap C) - p (R \cap C) \end{matrix}$
  Or : $\begin{matrix} p (R \cap C) & = & p_{R} (C) \times p (R) \\ = & 0,6 \times 0,4 \\ = & 0,24 \end{matrix}$
  D'où $p (B \cap C) = 0,7 - 0,4 - 0,24 = 0,06$
  La probabilité que le client choisisse une piscine en bois chauffée est égale à 0,06.
2. En déduire $p_{B} (C)$ et compléter l'arbre pondéré précédent.
  $\begin{matrix} p_{B} (C) = \frac{p (B \cap C)}{p (B)} & Soit & p_{B} (C) = \frac{0,06}{0,1} = 0,6 \end{matrix}$
  La probabilité qu'un client ayant préféré une piscine en bois fasse installer un système de chauffage est égale à 0,6.
Sachant que la piscine du client dont la fiche a été tirée est chauffée, calculer la probabilité que ce soit une piscine traditionnelle.
$\begin{matrix} p_{C} (T) = \frac{p (T \cap C)}{p (C)} & Soit & p_{C} (T) = \frac{0,4}{0,7} = \frac{4}{7} \end{matrix}$
La probabilité qu'un client dont la piscine est chauffée a préféré une piscine traditionnelle est égale à $\frac{4}{7}$ .

partie b

On prélève un lot de 120 fiches dans le fichier client du revendeur.
On s'intéresse, dans un tel lot, au nombre de clients ayant choisi d'installer un chauffage pour leur piscine. On modélise ce nombre par la variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne $μ = 84$ et d'écart-type $σ = 5$ .

Calculer la probabilité qu'il y ait entre 74 et 94 piscines chauffées.
Si X suit la loi normale d'espérance $μ$ et d'écart-type $σ$ alors $P (μ - 2 σ ⩽ X ⩽ μ + 2 σ) \approx 0,954$ d'où :
$P (74 ⩽ X ⩽ 94) \approx 0,954$ .
Calculer la probabilité qu'au moins deux tiers des clients du lot aient choisi d'installer un chauffage pour leur piscine.
La calculatrice permet d'obtenir la probabilité $P (a ⩽ X ⩽ b)$ quand X suit la loi normale : $\begin{matrix} P (X ⩾ \frac{2}{3} \times 120) & = & P (80 ⩽ X ⩽ 84) + P (X ⩾ 84) \\ = & P (80 ⩽ X ⩽ 84) + 0,5 \\ \approx & 0,788 \end{matrix}$
La probabilité qu'au moins deux tiers des clients du lot aient choisi d'installer un chauffage pour leur piscine est, arrondie au millième près, 0,788.

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