Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France métropolitaine, La Réunion septembre 2014

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

On comptait 700 élèves dans un lycée lors de la rentrée de 2012.
À la fin de chaque année scolaire, après le départ des nouveaux bacheliers et des élèves quittant l'établissement, le lycée conserve 70 % de son effectif pour l'année suivante.
Il reçoit 240 nouveaux élèves à chaque rentrée.

Calculer le nombre d'élèves dans le lycée aux rentrées 2013 et 2014.
Chaque année, le lycée conserve 70 % de son effectif et reçoit 240 nouveaux élèves d'où :
- le nombre délèves à la rentrée 2013 est : $700 \times 0,7 + 240 = 730$
- le nombre délèves à la rentrée 2014 est : $730 \times 0,7 + 240 = 751$
On comptait 730 élèves dans le lycée à la rentrée de 2013 et 751 élèves lors de la rentrée 2014.
On définit la suite $(a_{n})$ par : $a_{0} = 700$ et, pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,7 \times a_{n} + 240$ .
Soit la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $u_{n} = a_{n} - 800$ .
1. Montrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,7. Préciser son premier terme.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} u_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 800 \\ = & 0,7 a_{n} + 240 - 800 \\ = & 0,7 a_{n} - 560 \\ = & 0,7 \times (a_{n} - 800) \\ = & 0,7 u_{n} \end{array}$
  Pour tout entier n, $u_{n + 1} = 0,7 u_{n}$ donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,7. D'autre part, $\begin{matrix} u_{0} = a_{0} - 800 & soit & u_{0} = 700 - 800 = - 100 \end{matrix}$
  Ainsi, $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,7 et de premier terme $u_{0} = - 100$ .
2. Exprimer $u_{n}$ en fonction de n.
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,7 et de premier terme $u_{0} = - 100$ alors pour tout entier n, $u_{n} = - 100 \times {0,7}^{n}$ .
3. En déduire l'expression de $a_{n}$ en fonction de n.
  Pour tout entier n, $u_{n} = a_{n} - 800$ équivaut à $a_{n} = u_{n} + 800$ d'où :
  pour tout entier n, $a_{n} = 800 - 100 \times {0,7}^{n}$ .
On choisit de modéliser le nombre d'élèves du lycée par les termes de la suite $(a_{n})$ . Il faudra agrandir le lycée dès que l'effectif sera supérieur ou égal à 780 élèves.
1. Montrer que résoudre l'inéquation $800 - 100 \times {0,7}^{n} ⩾ 780$ revient à résoudre l'inéquation ${0,7}^{n} ⩽ 0,2$ .
  Pour tout entier n, $\begin{matrix} 800 - 100 \times {0,7}^{n} ⩾ 780 & \Leftrightarrow & - 100 \times {0,7}^{n} ⩾ - 20 \\ \Leftrightarrow & {0,7}^{n} ⩽ 0,2 \end{matrix}$
  Ainsi, pour tout entier n, $800 - 100 \times {0,7}^{n} ⩾ 780 \Leftrightarrow {0,7}^{n} ⩽ 0,2$ .
2. En quelle année faudra-t-il agrandir le lycée ?
  On cherche le plus petit entier n tel que : $\begin{matrix} u_{n} ⩾ 780 & \Leftrightarrow & 800 - 100 \times {0,7}^{n} ⩾ 780 \\ \Leftrightarrow & {0,7}^{n} ⩽ 0,2 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,7}^{n}) ⩽ \ln 0,2 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \ln 0,7 ⩽ \ln 0,2 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln 0,2}{\ln 0,7} & \ln 0,7 < 0 \end{matrix}$
  Comme $\frac{\ln 0,2}{\ln 0,7} \approx 4,5$ , le plus petit entier n tel que $u_{n} ⩾ 780$ est 5.
  Il faudra agrandir le lycée à partir de la rentrée 2017.

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