Baccalauréat 2014 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France métropolitaine, La Réunion septembre 2014

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On considère une fonction f définie sur ℝ et deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f ″$ , dérivée seconde de la fonction f, dans un repère orthonormé.
Les points suivants appartiennent à la courbe : $A (- 2; 0)$ ; $B (0; 6)$ et $C (3; 0)$ .

La courbe représentative de f admet-elle des points d'inflexion ?
La courbe nous permet détablir le signe de $f ″ (x)$ en fonction du réel f :
x $- \infty$ − 2 3 $+ \infty$
$f ″ (x)$ + $0_{|}^{|}$ − $0_{|}^{|}$ +
La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour $x = - 2$ et pour $x = 3$ donc la courbe représentative de la fonction f admet deux points d'inflexion d'abscisses respectives − 2 et 3.
Sur $[- 2; 3]$ , la fonction est-elle convexe ? Est-elle concave ?
Sur $[- 2; 3]$ , la dérivée seconde est négative, donc la fonction f est concave sur cet intervalle.
Parmi les deux courbes données ci-dessous, une seule est la représentation graphique de la fonction f : laquelle ? Justifier la réponse.
- La courbe 1 ne convient pas car au point d'abscisse − 2 la courbe ne traverse pas sa tangente.
- La courbe 2 est la seule des deux courbes ayant deux points d'inflexion d'abscisses respectives − 2 et 3 et concave sur l'intervalle $[- 2; 3]$ .
Courbe 1 Courbe 2 représentative de la fonction f
La courbe 2 est la seule des deux courbes susceptible de représenter la fonction f.

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x	$- \infty$		− 2		3		$+ \infty$
$f ″ (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−	$0_{\|}^{\|}$	+

Courbe 1	Courbe 2 représentative de la fonction f