sujet : Polynésie session septembre 2014

corrigé de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

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1. On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction f définie et dérivable sur $\left[0;3\right]$ ainsi que la tangente au point A d'abscisse 1. En $x=1$, le nombre dérivé de f est :

   Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A d'abscisse 1.
   Or par lecture graphique, le coefficient directeur de cette tangente est négatif et supérieur à $-1$ donc $-1<f\prime \left(1\right)<-0$.
   Par conséquent, la seule proposition qui convienne est la proposition d :$f\prime \left(1\right)=-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$

   a.  $-2\mathrm{e}$

   b.   3

   c.  ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$

   d.  $-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$

2. On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction g définie et dérivable sur $\left[0;5\right]$ ainsi que sa tangente horizontale au point A d'abscisse 3. Le signe de la fonction dérivée de g est :

   La fonction g est strictement croissante sur chacun des intervalles $\left[0;1\right]$ ou $\left[3;5\right]$ donc sur chacun de ces deux intervalles $g\prime \left(x\right)⩾0$.
   Par conséquent, la seule proposition qui convienne est la proposition b.

   a.   négatif sur $\left[0;1\right]$

   b.   positif sur $\left[3;4\right]$

   c.   négatif sur $\left[1;4\right]$

   d.   change en $x=4$

3. La fonction H définie sur ℝ par $H\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$ est une primitive de la fonction h définie par :

   Dire que H est une primitive sur ℝ de la fonction h signifie que pour tout réel x, $H\prime \left(x\right)=h\left(x\right)$.

   Comme pour tout réel x, $$H\prime \left(x\right)=\left(-{\displaystyle \frac{2x}{2}}\right)\times {\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}=-x{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$$

   La fonction H est une primitive de la fonction h définie sur ℝ par $h\left(x\right)=-x{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$

   a.   ${\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$

   b.   $-{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$

   c.   $-x{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$

   d.   $-2x{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$

4. Soit j la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $j\left(x\right)=1+\ln x$. L'équation $j\left(x\right)=0$ a pour solution :

   Pour tout réel x strictement positif :$$\begin{array}{ccc}1+\ln x=0& \iff & \ln x=-1\hfill \\ & \iff & x={\mathrm{e}}^{-1}\hfill \end{array}$$

   a.   e

   b.   $-1$

   c.   ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$

   d.   1

5. On considère la fonction k définie sur ℝ par $k\left(x\right)=3x+5$.
   L'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe représentative de k, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$ est :

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;1\right]$, on a $5⩽3x+5⩽8$ donc sur l'intervalle $\left[0;1\right]$, $k\left(x\right)>0$. Par conséquent, l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe représentative de k, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$ est égale à l'intégrale de la fonction k sur $\left[0;1\right]$ : $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_0^1\left(3x+5\right)\mathrm{d}x}& =& {\left[{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+5x\right]}_0^1\hfill \\ & =& \left({\displaystyle \frac{3}{2}}+5\right)-0\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{13}{2}}\hfill \end{array}$$

   a.   6,5

   b.   8

   c.   4,5

   d.   8,5

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