sujet : Polynésie session septembre 2014

corrigé de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Une personne décide d'ouvrir un compte épargne le premier janvier 2014 et d'y placer 2000 euros. Le placement à intérêts composés est au taux annuel de 3 %. Elle verse 150 euros sur ce compte tous les 1^er janvier suivants.
Pour tout entier naturel n, on note $u_n$ le montant présent sur ce compte au premier janvier de l'année 2014 + n après le versement de 150 euros. On a $u_0=2000$.

Dans tout l'exercice les résultats seront arrondis à 10^-2près.

partie a

1. Calculer les termes $u_1$ et $u_2$ de la suite $\left(u_n\right)$.

   $$\begin{array}{l}{u}_1=2000\times \mathrm{1,03}+150=2210\\ u_2=2210\times \mathrm{1,03}+150=\mathrm{2426,30}\end{array}$$

   Ainsi, $u_1=2210$ et $u_2=\mathrm{2426,30}$

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2. Justifier que pour tout entier naturel n on a : $u_{n+1}=\mathrm{1,03}{u}_n+150$.

   Le placement à intérêts composés est au taux annuel de 3 % et on verse 150 euros sur ce compte tous les 1^er janvier suivants donc pour tout entier naturel n on a : $u_{n+1}=\mathrm{1,03}{u}_n+150$.

   ---

3. Pour tout entier n, on pose $v_n=u_n+5000$.
   Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,03.

   Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{ccc}{v}_{n+1}=u_{n+1}+5000& \iff & v_{n+1}=\mathrm{1,03}{u}_n+150+5000\hfill \\ & \iff & v_{n+1}=\mathrm{1,03}{u}_n+5150\hfill \\ & \iff & v_{n+1}=\mathrm{1,03}\times \left(u_n+5000\right)\hfill \\ & \iff & v_{n+1}=\mathrm{1,03}\times v_n\hfill \end{array}$$

   Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{1,03}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison1,03.

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4. Exprimer $v_n$ en fonction de n et en déduire que pour tout nombre entier n on a : $u_n=7000\times {\mathrm{1,03}}^n-5000$.

   $v_0=u_0+5000$. Soit $v_0=2000+5000=7000$

   $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,03 et de premier terme $v_0=7000$ donc pour tout entier naturel n, $v_n=7000\times {\mathrm{1,03}}^n$.

   Pour tout entier naturel n, $v_n=u_n+5000\iff u_n=v_n-5000$.

   D'où pour tout entier naturel n, $u_n=7000\times {\mathrm{1,03}}^n-5000$.

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5. À partir de quelle année, cette personne aura-t-elle au moins 4000 euros sur son compte épargne ? Indiquer la façon dont la réponse a été trouvée.

   On cherche le plus petit entier n tel que $u_n⩾4000$ soit $$\begin{array}{ccc}7000\times {\mathrm{1,03}}^n-5000⩾4000& \iff & 7000\times {\mathrm{1,03}}^n⩾9000\hfill \\ & \iff & {\mathrm{1,03}}^n⩾{\displaystyle \frac{9}{7}}\hfill \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{1,03}}^n\right)⩾\ln {\displaystyle \frac{9}{7}}\hfill \\ & \iff & n\ln \mathrm{1,03}⩾\ln {\displaystyle \frac{9}{7}}\hfill \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln {\displaystyle \frac{9}{7}}}{\ln \mathrm{1,03}}}\hfill \end{array}$$

   Comme ${\displaystyle \frac{\ln {\displaystyle \frac{9}{7}}}{\ln \mathrm{1,03}}}\approx \mathrm{8,5}$ le plus petit entier n tel que $u_n⩾4000$ est 9.

   À partir de 2023, cette personne aura au moins 4000 euros sur son compte épargne.

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partie b

1. 1. Que représente la variable C dans cet algorithme ?

      C est le montant du capital disponible sur le compte épargne au premier janvier de l'année 2014 + n.

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   2. Quel est le taux de ce placement ?

      Le placement est au taux annuel de 3 %.

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   3. Quel est le versement annuel fait par cette personne ?

      Le versement annuel fait par cette personne est de 600 euros.

      ---

2. On saisit, pour la variable C, la valeur 3000.

   1. Pour cette valeur de C, en suivant pas à pas l'algorithme précédent, recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.

      Valeur de C	3000	3690	4400,70	5132,72	5886,70	6663,30
      Valeur de N	0	1	2	3	4	5
      Valeur de D	6000	6000	6000	6000	6000	6000
      Tant que $C<D$	vrai	vrai	vrai	vrai	vrai	FAUX

   2. Qu'affiche l'algorithme ? Interpréter ce résultat.

      La valeur affichée par l'algorithme est 5. Le capital initial de 3000 euros investi dans ce compte épargne aura plus que doublé au bout de 5 ans.

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