sujet : Polynésie session septembre 2014

corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

   • 95 % des élèves déclarent manger régulièrement à la cantine et parmi ceux-ci 70 % sont satisfaits de la qualité des repas d'où $P\left(R\right)=\mathrm{0,95}$, $P\left(\overline{R}\right)=1-\mathrm{0,95}=\mathrm{0,05}$ et $P_R\left(S\right)=\mathrm{0,7}$.

   • 20 % des élèves qui ne mangent pas régulièrement sont satisfaits de la qualité des repas d'où $P_{\overline{R}}\left(S\right)=\mathrm{0,2}$.

   D'où l'arbre pondéré traduisant cette situation :

2. Calculer la probabilité que l'élève mange régulièrement à la cantine et soit satisfait de la qualité des repas.

   $$\begin{array}{ccc}P\left(R\cap S\right)=P_R\left(S\right)\times P\left(R\right)& \text{Soit}& P\left(R\cap S\right)=\mathrm{0,7}\times \mathrm{0,95}=\mathrm{0,665}\hfill \end{array}$$

   La probabilité qu'un élève mange régulièrement à la cantine et soit satisfait de la qualité des repas est égale à 0,665.

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3. Montrer que la probabilité de l'évènement S est égale à 0,675.

   Les évènements R et S sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(S\right)=P\left(R\cap S\right)+P\left(\overline{R}\cap S\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccc}P\left(\overline{R}\cap S\right)=p_{\overline{R}}\left(S\right)\times P\left(\overline{R}\right)& \text{Soit}& P\left(\overline{R}\cap S\right)=\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,05}=\mathrm{0,01}\hfill \end{array}$$

   On obtient alors $$P\left(S\right)=\mathrm{0,665}+\mathrm{0,01}=\mathrm{0,675}$$

   La probabilité qu'un élève mange soit satisfait de la qualité des repas est égale à 0,675.

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4. Sachant que l'élève n'est pas satisfait de la qualité des repas, calculer la probabilité qu'il mange régulièrement à la cantine. Donner le résultat arrondi à 10⁻³.

   $$P_{\overline{S}}\left(R\right)={\displaystyle \frac{P\left(R\cap \overline{S}\right)}{P\left(\overline{S}\right)}}$$

   Or $$\begin{array}{ccc}P\left(R\cap \overline{S}\right)=P_R\left(\overline{S}\right)\times P\left(R\right)& \text{Soit}& P\left(R\cap \overline{S}\right)=\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,95}=\mathrm{0,285}\hfill \end{array}$$ et $P\left(\overline{S}\right)=1-\mathrm{0,675}=\mathrm{0,325}$ d'où $$P_{\overline{S}}\left(R\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,285}}{\mathrm{0,325}}}\approx \mathrm{0,877}$$

   La probabilité que l'élève mange régulièrement à la cantine, sachant qu'il n'est pas satisfait de la qualité des repas est 0,877.

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5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves inscrits à la demi-pension.
   On note X la variable aléatoire égale au nombre d'élèves déclarant être satisfaits de la qualité des repas. Le nombre d'élèves étant suffisamment grand, on considère que X suit une loi binomiale.
   Les résultats seront arrondis au millième.

   1. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.

      X suit une loi binomiale de paramètres 4 et 0,675.

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   2. Calculer la probabilité de l'évènement A : « les quatre élèves sont satisfaits de la qualité des repas ».

      $$P\left(X=4\right)={\mathrm{0,675}}^4\approx \mathrm{0,208}$$

      La probabilité que les quatre élèves sont satisfaits de la qualité des repas est égale à 0,208.

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   3. Décrire à l'aide d'une phrase l'évènement $\overline{A}$ et calculer sa probabilité.

      $\overline{A}$ est l'évènement : « un élève au moins n'est pas satisfait de la qualité des repas ».
      $P\left(\overline{A}\right)=1-\mathrm{0,208}=\mathrm{0,792}$.

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