sujet : Polynésie session septembre 2014

corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une entreprise produit à la chaîne des jouets pesant en moyenne 400 g. Suite à une étude statistique, on considère que la masse d'un jouet est une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance $\mu =400$ et d'écart-type $\sigma =11$.

Dans tout l'exercice les résultats seront arrondis à 10^-2.

1. Déterminer $P\left(385⩽X⩽415\right)$. Interpréter ce résultat.

   $P\left(385⩽X⩽415\right)\approx \mathrm{0,83}$. Environ 83 % des jouets produits ont une masse comprise entre 385 g et 415 g.

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2. Justifier, en utilisant des propriétés du cours, que $P\left(X⩾411\right)\approx \mathrm{0,16}$.

   Si X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ alors :

   • La courbe représentative de la fonction de densité est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\mu$
   • $P\left(X⩽\mu \right)=P\left(X⩾\mu \right)=\mathrm{0,5}$
   • $P\left(X⩽\mu -\sigma \right)=P\left(X⩾\mu +\sigma \right)$
   • $P\left(\mu -\sigma ⩽X⩽\mu +\sigma \right)\approx \mathrm{0,683}$

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   Comme X suit la loi normale d'espérance $\mu =400$ et d'écart-type $\sigma =11$ on a :$$\begin{array}{ccccccc}P\left(X⩾411\right)& =& {\displaystyle \frac{1-P\left(389⩽X⩽411\right)}{2}}\hfill & \text{ou}& P\left(X⩾411\right)& =& \mathrm{0,5}-P\left(400⩽X⩽411\right)\hfill \\ & \approx & {\displaystyle \frac{1-\mathrm{0,683}}{2}}\hfill & & & \approx & \mathrm{0,5}-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,683}}{2}}\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,16}\hfill & & & \approx & \mathrm{0,16}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $P\left(X⩾411\right)\approx \mathrm{0,16}$.

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3. Un jouet est commercialisable s'il pèse au maximum 420 g. Quelle est la probabilité que le jouet soit commercialisable ?

   $$P\left(X⩽420\right)=\mathrm{0,5}+P\left(400⩽X⩽420\right)\approx \mathrm{0,97}$$

   La probabilité qu'un jouet soit commercialisable est 0,97 arrondie au centième près.

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4. On cherche à contrôler la qualité des jouets. Pour cela on choisit de façon aléatoire un échantillon de 300 jouets.

   1. Vérifier que les conditions de détermination de l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de jouets commercialisables sont vérifiées.

      Comme $n=300$, $n\times p=300\times \mathrm{0,97}=291$ et $n\times \left(1-p\right)=300\times \mathrm{0,03}=9$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

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   2. Déterminer cet intervalle.

      L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est :

      Soit avec des valeurs approchées à ${10}^{-2}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de jouets commercialisables sur un échantillon de taille 300 est $I=\left[\mathrm{0,95};\mathrm{0,99}\right]$.

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   3. On constate que 280 jouets de l'échantillon sont commercialisables. Ce résultat remet-il en question la modélisation effectuée par l'entreprise ?

      La fréquence observée de jouets commercialisables sur un échantillon de taille 300 est :$$f={\displaystyle \frac{280}{300}}={\displaystyle \frac{14}{15}}\approx \mathrm{0,93}$$

      La fréquence observée n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, ce résultat remet en question la modélisation effectuée par l'entreprise.

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