Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Sud 2015

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Les deux parties de l'exercice sont indépendantes. Les probabilités demandées seront données à 0,001 près.

Une étude est menée par une association de lutte contre la violence routière. Des observateurs, sur un boulevard d'une grande ville, se sont intéressés au comportement des conducteurs d'automobile au moment de franchir un feu tricolore.

partie a

Dans cette partie, on s'intéresse au respect de la signalisation par les automobilistes.

Sur un cycle de deux minutes (120 secondes), le feu est à la couleur « rouge » pendant 42 secondes, « orange» pendant 6 secondes et « vert» pendant 72 secondes.
Par ailleurs, les observateurs notent que les comportements diffèrent selon la couleur du feu :

lorsque le feu est rouge, 10 % des conducteurs continuent de rouler et les autres s'arrêtent ;
lorsque le feu est orange, 86 % des conducteurs continuent de rouler et les autres s'arrêtent ;
lorsque le feu est vert, tous les conducteurs continuent de rouler.

On s'intéresse à un conducteur pris au hasard, et on observe son comportement selon la couleur du feu. On note :

R l'évènement « le feu est au rouge » ;
O l'évènement « le feu est à l'orange » ;
V l'évènement « le feu est au vert » ;
C l'évènement « le conducteur continue de rouler ».

Pour tout évènement A, on note $p (A)$ sa probabilité, $p_{B} (A)$ la probabilité de A sachant que B est réalisé et $\bar{A}$ l'évènement contraire de A.

Modéliser cette situation par un arbre pondéré.
- Sur un cycle de deux minutes (120 secondes), le feu est à la couleur « rouge » pendant 42 secondes, « orange» pendant 6 secondes et « vert» pendant 72 secondes. D'où : $\begin{matrix} p (R) = \frac{42}{120} = 0,35 & p (O) = \frac{6}{120} = 0,05 & p (V) = \frac{72}{120} = 0,6 \end{matrix}$
- Lorsque le feu est rouge, 10 % des conducteurs continuent de rouler et les autres s'arrêtent d'où $p_{R} (C) = 0,1$
- Lorsque le feu est orange, 86 % des conducteurs continuent de rouler et les autres s'arrêtent d'où $p_{O} (C) = 0,86$
- Lorsque le feu est vert, tous les conducteurs continuent de rouler d'où $p_{V} (C) = 1$
L'arbre pondéré qui illustre la situation est :
Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
Montrer que la probabilité que le conducteur continue de rouler au feu est 0,678.
D'après la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $p (C) = p (R \cap C) + p (O \cap C) + p (V \cap C)$
Or $\begin{array}{rcl} p (R \cap C) = p_{R} (C) \times p (R) & soit & p (R \cap C) = 0,1 \times 0,35 = 0,035 \\ p (O \cap C) = p_{O} (C) \times p (O) & soit & p (O \cap C) = 0,86 \times 0,05 = 0,043 \\ p (V \cap C) = p_{V} (C) \times p (V) & soit & p (V \cap C) = 1 \times 0,6 = 0,6 \end{array}$
On obtient alors $p (C) = 0,035 + 0,043 + 0,6 = 0,678$
La probabilité que le conducteur continue de rouler au feu est égale à 0,678.
Sachant qu'un conducteur continue de rouler au feu, quelle est la probabilité que le feu soit vert ?
$\begin{matrix} p_{C} (V) = \frac{p (V \cap C)}{p (C)} & Soit & p_{C} (V) = \frac{0,6}{0,678} \approx 0,885 \end{matrix}$
Arrondie au millième près, la probabilité que le feu soit vert sachant qu'un conducteur continue de rouler au feu est 0,885.

partie b

Dans cette partie, on s'intéresse au trafic aux heures de pointe.
On désigne par X la variable aléatoire qui compte le nombre de voitures par heure à proximité du feu évoqué dans la partie A.
On admet que X suit la loi normale de moyenne 3000 et d'écart type 150.

À l'aide de la calculatrice, déterminer la probabilité de compter entre 2800 et 3200 voitures par heure à cet endroit.
Avec la calculatrice, on a : $p (2800 ⩽ X ⩽ 3200) \approx 0,818$
La probabilité de compter entre 2800 et 3200 voitures par heure est 0,818.
À l'aide de la calculatrice, déterminer la probabilité de compter plus de 3100 voitures par heure à cet endroit.
$\begin{array}{rcl} p (X ⩾ 3100) & = & p (X ⩾ 3000) - p (3000 ⩽ X ⩽ 3100) \\ = & 0,5 - p (3000 ⩽ X ⩽ 3100) \\ \approx & 0,252 \end{array}$
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
À un autre endroit du boulevard, à proximité d'un pont, la variable aléatoire Y qui compte le nombre de voitures par heure suit la loi normale de moyenne 3000 et d'écart type σ strictement supérieur à 150.
Sur le graphique ci-dessous, la courbe correspondant à X est en traits pleins et la courbe correspondant à Y est en pointillés.
Déterminer à quel endroit du boulevard, à proximité du feu ou du pont, la probabilité qu'il passe en une heure, entre 2800 et 3200 voitures, est la plus grande. Justifier à l'aide du graphique.
L'aire du domaine colorié compris entre la courbe représentative de la fonction de densité de la variable aléatoire X, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 2800$ et $x = 3200$ est supérieure à l'aire du domaine hachuré compris entre la courbe représentative de la fonction de densité de la variable aléatoire Y, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 2800$ et $x = 3200$ .
On en déduit que : $p (2800 ⩽ X ⩽ 3200) > p (2800 ⩽ Y ⩽ 3200)$
C'est à proximité du feu que la probabilité qu'il passe en une heure, entre 2800 et 3200 voitures, est la plus grande.

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