sujet : Amérique du Sud 2015

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

1. 1. Illustrer la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B :
      A représente l'état « Claudine demande un avis à la bibliothécaire » ;
      B représente l'état « Claudine ne demande pas d'avis à la bibliothécaire ».

      • Lorsque Claudine demande à la bibliothécaire son avis, la probabilité qu'elle le demande de nouveau la semaine suivante est 0,9 d'où $p_A\left(A\right)=\mathrm{0,9}$ et $p_A\left(B\right)=1-\mathrm{0,9}=\mathrm{0,1}$.
      • Lorsque Claudine ne demande pas à la bibliothécaire son avis, la probabilité qu'elle ne le demande pas non plus la semaine suivante est 0,6 d'où $p_B\left(B\right)=\mathrm{0,6}$ et $p_B\left(A\right)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}$.

      Le graphe probabiliste d'ordre 2 se présente de la manière suivante :

   2. Indiquer la matrice de transition M associée à ce graphe. On prendra les sommets A et B dans l'ordre (A, B).

      La matrice de transition associée au graphe est $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)$.

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2. Montrer que l'on a $P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,45}& \mathrm{0,55}\end{array}\right)$.

   $$\begin{array}{ccc}{P}_2=P_1\times M& \text{soit}& P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,45}& \mathrm{0,55}\end{array}\right)\end{array}$$

   L'état probabiliste de la deuxième semaine est $P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,45}& \mathrm{0,55}\end{array}\right)$.

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3. 1. Montrer que l'état stable de la répartition du choix de la demande d'avis est $P=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)$.

      Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_n$ converge vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$ avec $a+b=1$ et vérifiant : $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)& \iff & \left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}a+\mathrm{0,4}b& \mathrm{0,1}a+\mathrm{0,6}b\end{array}\right)\end{array}$$

      D'où a et b sont solutions du système : $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{l}a=\mathrm{0,9}a+\mathrm{0,4}b\\ b=\mathrm{0,1}a+\mathrm{0,6}b\\ a+b=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}\mathrm{0,1}a-\mathrm{0,4}b=0\\ -\mathrm{0,1}a+\mathrm{0,4}b=0\\ a+b=1\end{array}\end{array}$$

      Soit a et b solutions du système : $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{l}\mathrm{0,1}a-\mathrm{0,4}b=0\\ a+b=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}a+b=1\\ \mathrm{0,5}a=\mathrm{0,4}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}a=\mathrm{0,8}\\ b=\mathrm{0,2}\end{array}\end{array}$$

      L'état stable de la répartition du choix de la demande d'avis est $P=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)$.

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   2. Interpréter ce résultat.

      À parir d'un certain nombre de semaines, la probabilité que Claudine demande un avis sera chaque semaine très proche de 0,8.

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4. On admet que, pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on a : $a_{n+1}=\mathrm{0,5}{a}_n+\mathrm{0,4}$.
   On considère l'algorithme suivant :

   variables :	A est un réel et N est un entier naturel
   initialisation :	A prend la valeur 0,1 N prend la valeur 1
   traitement :	Tant que $A⩽\mathrm{0,79}$ N prend la valeur $N+1$ A prend la valeur $\mathrm{0,5}\times A+\mathrm{0,4}$ Fin Tant que
   Sortie :	Afficher N

   Préciser ce que cet algorithme permet d'obtenir. (On ne demande pas de donner la valeur de N affichée en sortie d'algorithme.)

   Cet algorithme permet d'obtenir le nombre de semaines au terme duquel la probabilité que Claudine demande un avis sera supérieure à 0,79.

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5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   On admet que, pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on a : $a_n=\mathrm{0,8}-\mathrm{0,7}\times {\mathrm{0,5}}^{n-1}$.
   Déterminer le nombre de semaines à partir duquel la probabilité que Claudine demande un avis soit supérieure à 0,799.

   On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation : $$\begin{array}{rcll}\mathrm{0,8}-\mathrm{0,7}\times {\mathrm{0,5}}^{n-1}>\mathrm{0,799}& \iff & -\mathrm{0,7}\times {\mathrm{0,5}}^{n-1}>-\mathrm{0,001}& \\ & \iff & {\mathrm{0,5}}^{n-1}<{\displaystyle \frac{\mathrm{0,01}}{7}}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,5}}^{n-1}\right)<\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,01}}{7}}\right)& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & \left(n-1\right)\times \ln \mathrm{0,5}<\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,01}}{7}}\right)& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n-1>{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,01}}{7}}\right)}{\ln \mathrm{0,5}}}& \ln \mathrm{0,5}<0\\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,01}}{7}}\right)}{\ln \mathrm{0,5}}}+1& \end{array}$$

   Comme ${\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,01}}{7}}\right)}{\ln \mathrm{0,5}}}+1\approx \mathrm{10,5}$ alors le plus petit entier n tel que $\mathrm{0,8}-\mathrm{0,7}\times {\mathrm{0,5}}^{n-1}>\mathrm{0,799}$ est $n=11$.

   À partir de la onzième semaine, la probabilité que Claudine demande un avis sera supérieure à 0,799.

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