sujet : Amérique du Sud 2015

correction de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Claudine est une passionnée de lecture abonnée à l'hebdomadaire littéraire « La Lecture ». Elle se rend une fois par semaine à la bibliothèque et elle demande ou non l'avis du bibliothécaire sur le livre mis en valeur dans l'hebdomadaire « La Lecture ». Son souhait de demander un avis change d'une semaine sur l'autre selon le plaisir qu'elle a eu à lire le livre et selon la pertinence du conseil donné par le bibliothécaire la semaine précédente.
La première semaine, on suppose que la probabilité que Claudine demande un avis vaut 0,1.
Pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on note $a_n$ la probabilité que Claudine demande un avis la n-ième semaine. On a ainsi $a_1=\mathrm{0,1}$.
On admet que, pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on a : $a_{n+1}=\mathrm{0,5}{a}_n+\mathrm{0,4}$.

1. Calculer la probabilité $a_2$ que Claudine demande un avis la deuxième semaine.

   $$a_2=\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,1}+\mathrm{0,4}=\mathrm{0,45}$$

   La probabilité que Claudine demande un avis la deuxième semaine est égale à 0,45.

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2. Pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on définit la suite $\left(v_n\right)$ par : $v_n=a_n-\mathrm{0,8}$.

   1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5. Préciser son premier terme $v_1$.

      $v_1=a_1-\mathrm{0,5}$. Soit $v_1=\mathrm{0,1}-\mathrm{0,8}=-\mathrm{0,7}$. D'autre part, pour tout entier n strictement positif, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& a_{n+1}-\mathrm{0,8}\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}{a}_n+\mathrm{0,4}-\mathrm{0,8}\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}{a}_n-\mathrm{0,4}\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}\times \left(a_n-\mathrm{0,8}\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}{v}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n strictement positif, $v_{n+1}=\mathrm{0,5}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5. Le premier terme de cette suite est $v_1=-\mathrm{0,7}$.

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   2. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on a : $a_n=\mathrm{0,8}-\mathrm{0,7}\times {\mathrm{0,5}}^{n-1}$.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme $v_1=-\mathrm{0,7}$ donc pour tout entier naturel n strictement positif, $v_n=-\mathrm{0,7}\times {\mathrm{0,5}}^{n-1}$.

      D'autre part, pour tout entier naturel n strictement positif, $v_n=a_n-\mathrm{0,8}\iff a_n=v_n+\mathrm{0,8}$ donc :

      pour tout entier naturel n strictement positif, on a $a_n=\mathrm{0,8}-\mathrm{0,7}\times {\mathrm{0,5}}^{n-1}$.

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   3. Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.

      $0<\mathrm{0,5}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,5}}^{n-1}=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }-\mathrm{0,7}\times {\mathrm{0,5}}^{n-1}=0$.

      La suite $\left(v_n\right)$ converge vers 0.

      ---

   4. En déduire la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Interpréter ce résultat.

      Comme $\underset{n\to +\infty }{\lim }-\mathrm{0,7}\times {\mathrm{0,5}}^{n-1}=0$ alors $\underset{n\to +\infty }{\lim }\mathrm{0,8}-\mathrm{0,7}\times {\mathrm{0,5}}^{n-1}=\mathrm{0,8}$

      La suite $\left(a_n\right)$ converge vers 0,8. À partir d'un certain nombre de semaines, la probabilité que Claudine demande un avis est proche de 0,8.

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3. On considère l'algorithme suivant :

   variables :	A est un réel N est un entier naturel L est un réel strictement compris entre 0,1 et 0,8
   initialisation :	A prend la valeur 0,1 N prend la valeur 1
   traitement :	Tant que $A⩽L$ N prend la valeur $N+1$ A prend la valeur $\mathrm{0,5}\times A+\mathrm{0,4}$ Fin Tant que
   Sortie :	Afficher N

   1. Pour la valeur $L=\mathrm{0,7}$, recopier et compléter autant que nécessaire les colonnes du tableau suivant :

      Valeur de N	1	2	3	4
      Valeur de A	0,1	0,45	0,625	0,7125
      Condition $A⩽L$	Vraie	Vraie	Vraie	FAUSSE

   2. En déduire l'affichage de N obtenu en sortie d'algorithme quand la valeur de L est 0,7.

      L'affichage obtenu en sortie de l'algorithme est 4.

   3. Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment on peut interpréter le nombre N obtenu en sortie de l'algorithme quand le nombre L est compris strictement entre 0,1 et 0,8.

      La N-ième semaine, la probabilité que Claudine demande un avis sera supérieure à L.

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4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   Déterminer le nombre de semaines à partir duquel la probabilité que Claudine demande un avis soit supérieure à 0,799.

   On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation : $$\begin{array}{rcll}\mathrm{0,8}-\mathrm{0,7}\times {\mathrm{0,5}}^{n-1}>\mathrm{0,799}& \iff & -\mathrm{0,7}\times {\mathrm{0,5}}^{n-1}>-\mathrm{0,001}& \\ & \iff & {\mathrm{0,5}}^{n-1}<{\displaystyle \frac{\mathrm{0,01}}{7}}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,5}}^{n-1}\right)<\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,01}}{7}}\right)& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & \left(n-1\right)\times \ln \mathrm{0,5}<\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,01}}{7}}\right)& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n-1>{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,01}}{7}}\right)}{\ln \mathrm{0,5}}}& \ln \mathrm{0,5}<0\\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,01}}{7}}\right)}{\ln \mathrm{0,5}}}+1& \end{array}$$

   Comme ${\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,01}}{7}}\right)}{\ln \mathrm{0,5}}}+1\approx \mathrm{10,5}$ alors le plus petit entier n tel que $\mathrm{0,8}-\mathrm{0,7}\times {\mathrm{0,5}}^{n-1}>\mathrm{0,799}$ est $n=11$.

   À partir de la onzième semaine, la probabilité que Claudine demande un avis sera supérieure à 0,799.

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