Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Sud 2015

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Les deux parties de l'exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

partie a

La fonction f est définie pour tout réel x élément de l'intervalle [1;7] par f(x)=1,5x3-9x2+24x+48.
On note f la fonction dérivée de la fonction f et f sa dérivée seconde sur [1;7].

  1. Pour tout réel x de l'intervalle [1;7] :

    1. Calculer f(x).

      f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle [1;7] par f(x)=4,5x2-18x+24.


    2. Calculer f(x).

      f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle [1;7] par f(x)=9x-18.


  2. Déterminer sur quel intervalle la fonction f est convexe.

    La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde. Or : 9x-180x2

    La fonction f est convexe sur l'intervalle [2;7].


partie b

Une entreprise fabrique et commercialise un article dont la production est comprise entre 1000 et 7000 articles par semaine.
On modélise le coût de fabrication, exprimé en milliers d'euros, par la fonction f définie dans la partie A où x désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués.
On note c la fonction définie sur [1;7] représentant le coût moyen par article fabriqué, exprimé en euros. On a, par conséquent, pour tout x de [1;7] : c(x)=f(x)x=1,5x2-9x+24+48xOn admet que la fonction c est dérivable sur [1;7]. On note c sa fonction dérivée.

  1. Montrer que, pour tout x de l'intervalle [1;7], on a : c(x)=3(x-4)(x2+x+4)x2.

    Pour tout réel x de l'intervalle [1;7], on a : c(x)=3x-9-48x2=3(x-3-16x2)=3(x3-3x2-16)x2

    D'autre part, pour tout réel x :(x-4)(x2+x+4)=x3+x2+4x-4x2-4x-16=x3-3x2-16

    Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle [1;7], on a : c(x)=3(x-4)(x2+x+4)x2.


    1. Étudier les variations de la fonction c sur l'intervalle [1;7].

      Les variations de la fonction c se déduisent du signe de c(x) sur l'intervalle [1;7].

      • Pour tout réel x de l'intervalle [1;7], on a x2>0.

      • Le discriminant du trinôme x2+x+4 est Δ=-15 donc pour tout réel x on a x2+x+4>0.

      • On en déduit que c(x) est du même signe que x-4 sur l'intervalle [1;7].

      D'où le tableau des variations de la fonction c

      x147
      c(x)0||+
      f(x)

      64,5

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      24

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      5791441,36

    2. Déterminer, en milliers, le nombre d'articles à fabriquer pour que le coût moyen par article soit minimal.

      Le coût moyen par article est minimal pour une production de 4 milliers d'articles.


  2. On considère la fonction Γ définie sur l'intervalle [1;7] par : Γ(x)=0,5x3-4,5x2+24x+1+48lnx.

    1. Montrer que Γ est une primitive de c sur l'intervalle [1;7].

      D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles, les primitives de la fonction c sont les fonctions définies sur l'intervalle [1;7] par C(x)=1,5×x33-9×x22+24x+48lnx+k=0,5x3-4,5x2+24x+48lnx+kk est un réel.

      Ainsi, la fonction Γ définie sur l'intervalle [1;7] par Γ(x)=0,5x3-4,5x2+24x+1+48lnx est une primitive de c sur l'intervalle [1;7].


    2. Calculer la valeur moyenne μ de c sur l'intervalle [1;7]. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10- 2.

      La valeur moyenne μ de la fonction c sur l'intervalle [1;7] est :μ=17-1×17c(x)dx=16×(Γ(7)-Γ(1))=16×(48ln(7)+120-21)=8ln(7)+16,5

      La valeur moyenne de la fonction c sur l'intervalle [1;7] est μ=8ln(7)+16,532,07.



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