sujet : Asie 2015

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Valentine place un capital $c_0$ dans une banque le 1^er janvier 2014 au taux annuel de 2 %. À la fin de chaque année les intérêts sont ajoutés au capital, mais les frais de gestion s'élèvent à 25 € par an.
On note $c_n$ la valeur du capital au 1^er janvier de l'année 2014 + n.

partie a

1. 1. On saisit la valeur 1900 pour C. Pour cette valeur de C, recopier le tableau ci-dessous et le compléter, en suivant pas à pas l'algorithme précédent et en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.

      Les valeurs de C sont arrondies au centième

      Valeur de N	0	1	2	3	4	5	6	7	8
      Valeur de C	1900	1913	1926,26	1939,79	1953,58	1967,65	1982,01	1996,65	2011,58

   2. Quel est le résultat affiché par l'algorithme ? Dans le contexte de l'exercice, interpréter ce résultat.

      Le résultat affiché par l'algorithme est 8.
      En 2022, le capital disponible de Valentine sera supérieur à 2000 €.

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2. Que se passerait-il si on affectait la valeur 1250 à C ?

   $$1250\times \mathrm{1,02}-25=1250$$

   Si on affecte la valeur 1250 à C alors la condition $c<2000$ est toujours vérifiée, la boucle Tant que est executée indéfiniment et il n'y a pas d'affichage en sortie.

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partie b

Valentine a placé 1900 € à la banque au 1^er janvier 2014. On a donc $c_0=1900$.

1. Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel n, on a : $c_{n+1}=\mathrm{1,02}{c}_n-25$.

   À la fin de chaque année, le capital disponible est égal au produit par 1,02 du montant du capital disponible à la fin de l'année précédente, duquel il faut déduire les frais de gestion de 25 €.

   Ainsi, pour tout nombre entier naturel n, on a : $c_{n+1}=\mathrm{1,02}{c}_n-25$.

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2. Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie, pour tout nombre entier naturel n, par $u_n=c_n-1250$.

   1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme.

      $u_0=c_0-1250$. Soit $u_0=1900-1250=650$. Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{u}_{n+1}& =& c_{n+1}-1250\hfill \\ & =& \mathrm{1,02}\times c_n-25-1250\hfill \\ & =& \mathrm{1,02}\times c_n-1275\hfill \\ & =& \mathrm{1,02}\times \left(c_n-1250\right)\hfill \\ & =& \mathrm{1,02}\times u_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{1,02}{u}_n$ donc $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,02. Le premier terme de la suite géométrique est $u_0=650$.

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   2. Soit n un nombre entier naturel ; exprimer $u_n$ en fonction de n.
      En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, on a : $c_n=650\times {\mathrm{1,02}}^n+1250$.

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme $u_0=650$ donc pour tout entier naturel n, $u_n=650\times {\mathrm{1,02}}^n$.

      Comme pour tout tout entier naturel n, $u_n=c_n-1250\iff c_n=u_n+1250$, on en déduit que :

      Pour tout entier naturel n, $c_n=650\times {\mathrm{1,02}}^n+1250$.

      ---

3. Montrer que la suite $\left(c_n\right)$ est croissante.

   Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{c}_{n+1}-c_n& =& \left(650\times {\mathrm{1,02}}^{n+1}+1250\right)-\left(650\times {\mathrm{1,02}}^n+1250\right)\\ & =& 650\times {\mathrm{1,02}}^{n+1}-650\times {\mathrm{1,02}}^n\\ & =& 650\times {\mathrm{1,02}}^n\times \left(\mathrm{1,02}-1\right)\\ & =& 650\times {\mathrm{1,02}}^n\times \mathrm{0,02}\\ & =& 13\times {\mathrm{1,02}}^n\end{array}$$

   Or pour tout entier n, ${\mathrm{1,02}}^n>0$, d'où $c_{n+1}-c_n>0$.

   Pour tout entier n, $c_{n+1}-c_n>0$ donc la suite $\left(c_n\right)$ est strictement croissante.

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4. Déterminer, par la méthode de votre choix, le nombre d'années nécessaires pour que la valeur du capital dépasse 2100 €.

   On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation : $$\begin{array}{rcl}650\times {\mathrm{1,02}}^n+1250>2100& \iff & {\mathrm{1,02}}^n>{\displaystyle \frac{2100-1250}{650}}\\ & \iff & \ln \left({\mathrm{1,02}}^n\right)>\ln \left({\displaystyle \frac{17}{13}}\right)\\ & \iff & n\ln \mathrm{1,02}>\ln \left({\displaystyle \frac{17}{13}}\right)\\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{17}{13}}\right)}{\ln \mathrm{1,02}}}\end{array}$$

   Comme ${\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{17}{13}}\right)}{\ln \mathrm{1,02}}}\approx \mathrm{13,5}$ alors le plus petit entier n tel que $c_n>2100$ est $n=14$.

   La valeur du capital dépassera 2100 € au bout de 14 ans.

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