sujet : Asie 2015

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur $\left[0;1\right]$ par : $f\left(x\right)=2-2x$.
On a tracé ci-dessous la droite $D_f$, représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};I,J\right)$ du plan.
Le point C a pour coordonnées $\left(0;2\right)$. Δ est la partie du plan intérieure au triangle OIC.
Soit a un nombre réel compris entre 0 et 1 ; on note A le point de coordonnées $\left(a;0\right)$ et B le point de $D_f$ de coordonnées $\left(a;f\left(a\right)\right)$.
Le but de cet exercice est de trouver la valeur de a, telle que le segment [AB] partage Δ en deux parties de même aire.

Déterminer la valeur exacte de a, puis une valeur approchée au centième.

• méthode 1 : À partir d'une intégrale

  L'aire, en unités d'aire, du triangle OIC est égale à ${\displaystyle \frac{\mathrm{OI}\times \mathrm{OC}}{2}}={\displaystyle \frac{1\times 2}{2}}=1$

  Sur l'intervalle $\left[0;1\right]$ la fonction f est positive. Par conséquent, pour tout réel a de l'intervalle $\left[0;1\right]$ L'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la droite $D_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=a$ est égale à l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{a}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$. Soit $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_0^a\left(2-2x\right)\mathrm{d}x}& =& {[2x-x^2]}_0^a\\ & =& 2a-a^2\end{array}$$

  Ainsi, a est la solution comprise entre 0 et 1 de l'équation $$\begin{array}{ccc}2a-a^2={\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & -a^2+2a-{\displaystyle \frac{1}{2}}=0\end{array}$$

  Le discriminant du trinôme est : $\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=2^2-4\times \left(-1\right)\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=2\end{array}$

  $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation admet deux solutions : $$\begin{array}{lll}{a}_1={\displaystyle \frac{-2-\sqrt{2}}{-2}}={\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{2}}& \text{et}& a_2={\displaystyle \frac{-2+\sqrt{2}}{-2}}={\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{2}}\end{array}$$

  $1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ est la seule solution appartenant à l'intervalle $\left[0;1\right]$

  Le segment [AB] partage la partie du plan intérieure au triangle OIC en deux parties de même aire quand le point A a pour abscisse $a=1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\approx \mathrm{0,29}$

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• méthode 2 : Géométrique

  L'aire, en unités d'aire, du triangle OIC est égale à ${\displaystyle \frac{\mathrm{OI}\times \mathrm{OC}}{2}}={\displaystyle \frac{1\times 2}{2}}=1$

  Le point B a pour coordonnées $\left(a;2-2a\right)$. Comme a est un nombre réel compris entre 0 et 1 alors la distance AB est égale à $2-2a$.

  L'aire, en unités d'aire, du trapèze OABC est égale à ${\displaystyle \frac{\left(\mathrm{OC}+\mathrm{AB}\right)\times \mathrm{OA}}{2}}={\displaystyle \frac{\left(2+2-2a\right)\times a}{2}}=2a-a^2$

  Ainsi, a est la solution comprise entre 0 et 1 de l'équation $$\begin{array}{ccc}2a-a^2={\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & -a^2+2a-{\displaystyle \frac{1}{2}}=0\end{array}$$

  Le discriminant du trinôme est : $\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=2^2-4\times \left(-1\right)\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=2\end{array}$

  $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation admet deux solutions : $$\begin{array}{lll}{a}_1={\displaystyle \frac{-2-\sqrt{2}}{-2}}={\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{2}}& \text{et}& a_2={\displaystyle \frac{-2+\sqrt{2}}{-2}}={\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{2}}\end{array}$$

  $1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ est la seule solution appartenant à l'intervalle $\left[0;1\right]$

  Le segment [AB] partage la partie du plan intérieure au triangle OIC en deux parties de même aire quand le point A a pour abscisse $a=1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\approx \mathrm{0,29}$

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