sujet : France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

On considère une fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;5\right]$.

partie a : À l'aide d'un graphique

On a représenté ci-dessous la courbe $\left(C_{f\prime }\right)$ de la fonction dérivée $f\prime$ ainsi que la courbe $\left(C_{f″}\right)$ de la fonction dérivée seconde $f″$ sur l'intervalle $\left[0;5\right]$.
Le point A de coordonnées $\left(1;0\right)$ appartient à $\left(C_{f\prime }\right)$ et le point B de coordonnées $\left(2;0\right)$ appartient à la courbe $\left(C_{f″}\right)$.

1. Déterminer le sens de variation de la fonction f. Justifier.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :

   x	0		1		5
   Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   Variations de f

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2. Déterminer sur quel(s) intervalle(s), la fonction f est convexe. Justifier.

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde. D'où le tableau :

   x	0		2		5
   Signe de $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   Convexité de f		f est concave		f est convexe

   ---

   La fonction f est convexe sur l'intervalle $\left[2;5\right]$.

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3. La courbe de f admet-elle des points d'inflexion ? Justifier. Si oui, préciser leur(s) abscisse(s).

   La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour $x=2$ donc la courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion d'abscisse 2.

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partie b : Étude de la fonction

La fonction f est définie sur $\left[0;5\right]$ par $f\left(x\right)=5x{\mathrm{e}}^{-x}$.

1. Justifier que la fonction f est positive sur l'intervalle $\left[0;5\right]$.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ alors, par produit, pour tout réel x positif $5x{\mathrm{e}}^{-x}⩾0$.

   Ainsi, la fonction f définie sur $\left[0;5\right]$ par $f\left(x\right)=5x{\mathrm{e}}^{-x}$ est positive.

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2. Montrer que la fonction F définie sur $\left[0;5\right]$ par $F\left(x\right)=\left(-5x-5\right){\mathrm{e}}^{-x}$ est une primitive de f sur $\left[0;5\right]$.

   F est dérivable comme produit de fonctions dérivables : $F=uv$ d'où $F\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;5\right]$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=-5x-5\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=-5\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;5\right]$, $$\begin{array}{ccc}F\prime \left(x\right)& =& -5{\mathrm{e}}^{-x}+\left(-5x-5\right)\times \left(-{\mathrm{e}}^{-x}\right)\hfill \\ & =& -5{\mathrm{e}}^{-x}+5x{\mathrm{e}}^{-x}+5{\mathrm{e}}^{-x}\hfill \\ & =& 5x{\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;5\right]$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc la fonction F est une primitive de la fonction f sur $\left[0;5\right]$.

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3. Déterminer alors la valeur exacte de l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$.

   La fonction f est positive sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ par conséquent, l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$ est égale à l'ntégrale de la fonction f entre 0 et 1 : $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(1\right)-F\left(0\right)\\ & =& \left(-5-5\right){\mathrm{e}}^{-1}-\left(-5\right){\mathrm{e}}^0\\ & =& -10{\mathrm{e}}^{-1}+5\end{array}$$

   L'aire du domaine délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$ est égale à $\left(5-{\displaystyle \frac{10}{\mathrm{e}}}\right)$ unités d'aire.

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