sujet : France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie par $f\left(x\right)=2x^2\ln \left(x\right)$ sur $\left[\mathrm{0,2};10\right]$ et on note $\left(C_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
Le but de cet exercice est de prouver que la courbe $\left(C_f\right)$ admet sur $\left[\mathrm{0,2};10\right]$ une seule tangente passant par l'origine du repère.
On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.

1. Montrer que pour $x\in \left[\mathrm{0,2};10\right]$, $f\prime \left(x\right)=2x\left(2\ln \left(x\right)+1\right)$.

   f est dérivable comme produit de fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,2};10\right]$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=2x^2\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=4x\hfill \\ v\left(x\right)=\ln \left(x\right)\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,2};10\right]$, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& 4x\times \ln \left(x\right)+2x^2\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \\ & =& 4x\times \ln \left(x\right)+2x\hfill \\ & =& 2x\left(2\ln \left(x\right)+1\right)\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,2};10\right]$, par $f\prime \left(x\right)=2x\left(2\ln \left(x\right)+1\right)$.

   ---

2. Soit a un réel de $\left[\mathrm{0,2};10\right]$, montrer que la tangente à la courbe $\left(C_f\right)$ au point d'abscisse a a pour équation $y=2a\left(2\ln \left(a\right)+1\right)x-2a^2\left(\ln \left(a\right)+1\right)$.

   La tangente à la courbe $\left(C_f\right)$ au point d'abscisse a a pour équation :$$\begin{array}{rcl}y=f\prime \left(a\right)\times \left(x-a\right)+f\left(a\right)& \text{soit}& y=2a\left(2\ln \left(a\right)+1\right)\times \left(x-a\right)+2a^2\ln \left(a\right)\\ & \iff & y=2a\left(2\ln \left(a\right)+1\right)x-2a^2\left(2\ln \left(a\right)+1\right)+2a^2\ln \left(a\right)\\ & \iff & y=2a\left(2\ln \left(a\right)+1\right)x-2a^2\left(\ln \left(a\right)+1\right)\end{array}$$

   Ainsi, la tangente à la courbe $\left(C_f\right)$ au point d'abscisse a a pour équation $y=2a\left(2\ln \left(a\right)+1\right)x-2a^2\left(\ln \left(a\right)+1\right)$.

   ---

3. Répondre alors au problème posé.

   La droite d'équation $y=2a\left(2\ln \left(a\right)+1\right)x-2a^2\left(\ln \left(a\right)+1\right)$ passe par l'origine du repère si, et seulement si, l'ordonnée à l'origine $-2a^2\left(\ln \left(a\right)+1\right)$ est nulle. Soit comme a est un réel de l'intervalle $\left[\mathrm{0,2};10\right]$, la tangente passe par l'origine du repère si, et seulement si, $$\begin{array}{ccccc}\ln \left(a\right)+1=0& \iff & \ln \left(a\right)=-1& \iff & a={\mathrm{e}}^{-1}\end{array}$$

   Comme ${\mathrm{e}}^{-1}\in \left[\mathrm{0,2};10\right]$ on en déduit que :

   La courbe $\left(C_f\right)$ admet une seule tangente passant par l'origine du repère au point d'abscisse ${\mathrm{e}}^{-1}$. Cette tangente a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{2}{\mathrm{<mi\; mathvariant="normal">e</mi>}}}x$

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.