Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Dans une société d'assurance, les clients peuvent choisir de payer leur cotisation chaque mois (paiement mensuel) ou en une fois (paiement annuel).
On constate que 30 % de ceux qui paient en une fois choisissent le paiement mensuel l'année suivante, alors que 85 % de ceux qui paient chaque mois conservent ce mode de paiement l'année suivante.
En 2014, 60 % des clients paient en une fois et 40 % paient mensuellement.

Dans toute la suite de l'exercice, n désigne un nombre entier naturel.

On note :

$a_{n}$ la probabilité qu'un client choisi au hasard paie en une fois pour l'année $2014 + n$ ;
$b_{n}$ la probabilité qu'un client choisi au hasard paie mensuellement pour l'année $2014 + n$ .

On a $a_{0} = 0,6$ et $b_{0} = 0,6$ et on note $P_{n}$ l'état probabiliste pour l'année $2014 + n$ . Ainsi $P_{0} = (\begin{matrix} 0,4 & 0,6 \end{matrix})$ .

On note :

A l'état « le client paie en une fois » ;
B l'état « le client paie mensuellement ».

Représenter un graphe probabiliste de sommets A et B.
On a constaté que :
- 30 % des clients qui paient en une fois choisissent le paiement mensuel l'année suivante d'où $p_{A} (B) = 0,3$ et $p_{A} (A) = 1 - 0,3 = 0,7$ .
- 85 % des clients qui paient chaque mois conservent ce mode de paiement l'année suivante d'où $p_{B} (B) = 0,85$ et $p_{B} (A) = 1 - 0,85 = 0,15$ .
Le graphe probabiliste d'ordre 2 se présente de la manière suivante :
Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.
La matrice de transition associée au graphe est $M = (\begin{array}{r} 0,7 & 0,3 \\ 0,15 & 0,85 \end{array})$ .
Déterminer la probabilité qu'un client paie en une fois durant l'année 2018 (arrondir les résultats au millième).
$\begin{matrix} P_{4} = P_{0} \times M^{4} & soit & P_{4} = (\begin{matrix} 0,6 & 0,4 \end{matrix}) \times {(\begin{array}{r} 0,7 & 0,3 \\ 0,15 & 0,85 \end{array})}^{4} \approx (\begin{matrix} 0,358 & 0,642 \end{matrix}) \end{matrix}$
La probabilité qu'un client paie en une fois durant l'année 2018 est 0,358.
Déterminer l'état stable et en donner une interprétation.
Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_{n}$ converge vers un état stable $P = (\begin{matrix} a & b \end{matrix})$ avec $a + b = 1$ et vérifiant : $\begin{matrix} (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) \times (\begin{array}{r} 0,7 & 0,3 \\ 0,15 & 0,85 \end{array}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,7 a + 0,15 b & 0,3 a + 0,85 b \end{matrix}) \end{matrix}$
D'où a et b sont solutions du système : $\begin{matrix} {\begin{cases} a = 0,7 a + 0,15 b \\ b = 0,3 a + 0,85 b \\ a + b = 1 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} 0,3 a - 0,15 b = 0 \\ - 0,3 a + 0,15 b = 0 \\ a + b = 1 \end{cases} \end{matrix}$
Soit a et b solutions du système : $\begin{matrix} {\begin{cases} 0,3 a - 0,15 b = 0 \\ a + b = 1 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} a + b = 1 \\ 0,45 a = 0,15 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} a = \frac{1}{3} \\ b = \frac{2}{3} \end{cases} \end{matrix}$
L'état stable du graphe probabiliste est $P = (\begin{matrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{matrix})$ . À partir d'un certain nombre d'années, chaque année, un tiers des clients paieront en une fois et deux tiers paieront mensuellement.
Pour tout entier naturel n, justifier que $a_{n + 1} = 0,55 a_{n} + 0,15$ .
Pour tout entier naturel n, $\begin{matrix} (\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix}) \times (\begin{array}{r} 0,7 & 0,3 \\ 0,15 & 0,85 \end{array}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,7 a_{n} + 0,15 b_{n} & 0,3 a_{n} + 0,85 b_{n} \end{matrix}) \end{matrix}$
Soit pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,7 a_{n} + 0,15 b_{n}$ avec pour tout entier naturel n, $a_{n} + b_{n} = 1$ . Donc pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,7 a_{n} + 0,15 \times (1 - a_{n}) = 0,55 a_{n} + 0,15$
Ainsi, pour tout entier naturel n, on a : $a_{n + 1} = 0,55 a_{n} + 0,15$ .
On cherche à déterminer le plus petit entier n tel que $a_{n} < 0,3334$ .
1. Écrire un algorithme permettant de déterminer cet entier n.
  variables :
  N entier
  A réel
  initialisation :
  N prend la valeur 0
  A prend la valeur 0,6
  traitement :
  Tant que $A ⩾ 0,3334$
  A prend la valeur $0,55 \times A + 0,15$
  N prend la valeur $N + 1$
  Fin Tant que
  Sortie :
  Afficher N
2. On admet que pour tout entier naturel n, $a_{n} = \frac{4}{15} \times {0,55}^{n} + \frac{1}{3}$ . Déterminer par le calcul le plus petit entier n tel que $a_{n} < 0,3334$ .
  On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation : $\begin{array}{rcl} \frac{4}{15} \times {0,55}^{n} + \frac{1}{3} < 0,3334 & \Leftrightarrow & \frac{4}{15} \times {0,55}^{n} < \frac{0,0002}{3} \\ \Leftrightarrow & {0,55}^{n} < 0,00025 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,55}^{n}) < \ln 0,00025 \\ \Leftrightarrow & n \ln 0,55 < \ln 0,00025 \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 0,00025}{\ln 0,55} \end{array}$
  Comme $\frac{\ln 0,00025}{\ln 0,55} \approx 13,87$ alors :
  Le plus petit entier n tel que $a_{n} < 0,3334$ est $n = 14$ . À partir de 2028 près d'un tiers des clients des clients paieront en une fois.

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variables :	N entier A réel
initialisation :	N prend la valeur 0 A prend la valeur 0,6
traitement :	Tant que $A ⩾ 0,3334$ A prend la valeur $0,55 \times A + 0,15$ N prend la valeur $N + 1$ Fin Tant que
Sortie :	Afficher N