sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2015

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Pour chacune des questions posées une seule des quatre réponses est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

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1. Calcul de $f\prime \left(1\right)$

   Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $\left(𝒞\right)$ au point $A\left(1;0\right)$ passant par le point de coordonnées $\left(0;3\right)$. D'où $$f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{3-0}{0-1}}=-3$$

   a.  $f\prime \left(1\right)=3$

   b.  $f\prime \left(1\right)=-3$

   c.  $f\prime \left(1\right)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

   d.  $f\prime \left(1\right)=0$

2. La fonction f est :

   Graphiquement, il semblerait que le point $A\left(1;0\right)$ soit un point d'inflexion de la courbe $\left(𝒞\right)$. Par conséquent, la fonction f change de convexité en 1.
   f est concave sur l'intervalle $\left[-1;1\right]$ et convexe sur l'intervalle $\left[1;3\right]$.

   a.  concave sur $\left[-1;1\right]$

   b.  convexe sur $\left[-1;1\right]$

   c.  concave sur $\left[0;2\right]$

   d.  convexe sur $\left[0;2\right]$

3. On pose $I={\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$. Un encadrement de I est :

   Sur l'intervalle $\left[0;1\right]$, la courbe $\left(𝒞\right)$ est au dessus de l'axe des abscisses. Donc l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré compris entre la courbe $\left(𝒞\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$.

   Or l'aire du domaine hachuré est comprise entre l'aire d'un triangle rectangle de côtés 1 et 2 et l'aire d'un rectangle de côtés 1 et 2.

   a.  $0⩽I⩽1$

   b.  $1⩽I⩽2$

   c.  $2⩽I⩽3$

   d.  $3⩽I⩽4$

4. La fonction F est :

   F une primitive de f donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[-1;3\right]$ on a $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   Les variations de la fonction F se déduisent du signe de $f\left(x\right)$. Comme sur l'intervalle $\left[0;1\right]$, $f\left(x\right)⩾0$ on en déduit que la fonction F est croissante sur $\left[0;1\right]$.

   a.  croissante sur $\left[0;1\right]$

   b.  décroissante sur $\left[0;1\right]$

   c.  croissante sur $\left[-1;0\right]$

   d.  croissante sur $\left[-1;1\right]$

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