sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2015

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment

partie a

1. Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets K et $\overline{K}$.

   • si un adolescent choisit le canoë-kayak un jour donné, alors la probabilité qu'il choisisse la planche à rame le jour suivant est égale à 0,4 d'où $p_K\left(\overline{K}\right)=\mathrm{0,4}$ et $p_K\left(K\right)=1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6}$.
   • si un adolescent choisit la planche à rame un jour donné, alors la probabilité qu'il choisisse le canoë-kayak le jour suivant est égale à 0,2 d'où $p_{\bar{K}}\left(K\right)=\mathrm{0,2}$ et $p_{\bar{K}}\left(\overline{K}\right)=1-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,8}$.

   Le graphe probabiliste d'ordre 2 se présente de la manière suivante :

2. Donner la matrice de transition M associée à ce graphe, les sommets K et $\overline{K}$ étant classés dans cet ordre.

   La matrice de transition associée au graphe est $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$.

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3. Justifier que $P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,85}& \mathrm{0,15}\end{array}\right)$.

   Le premier jour, la proportion d'adolescents qui choisissent le canoë-kayak est égale à 0,85 donc $p_1=\mathrm{0,85}$ et $q_1=1-\mathrm{0,85}=\mathrm{0,15}$

   Ainsi, $P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,85}& \mathrm{0,15}\end{array}\right)$

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4. Avec la calculatrice, déterminer l'état probabiliste lors du 3^e jour.

   $$\begin{array}{ccc}{P}_3=P_1\times M^2& \text{soit}& P_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,85}& \mathrm{0,15}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,416}& \mathrm{0,584}\end{array}\right)\end{array}$$

   L'état probabiliste du 3^e jour est $P_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,416}& \mathrm{0,584}\end{array}\right)$.

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5. Pour tout entier naturel $n⩾1$, montrer que $p_{n+1}=\mathrm{0,4}{p}_n+\mathrm{0,2}$.

   M est la matrice de transition associée à ce graphe donc pour tout entier naturel n, $P_{n+1}=P_n\times M$. Soit pour tout entier naturel n : $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{cc}{p}_{n+1}& q_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{p}_n& q_n\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)& \iff & \left(\begin{array}{cc}{p}_{n+1}& q_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}{p}_n+\mathrm{0,2}{q}_n& \mathrm{0,4}{p}_n+\mathrm{0,8}{q}_n\end{array}\right)\end{array}$$

   Soit pour tout entier naturel n, $p_{n+1}=\mathrm{0,6}{p}_n+\mathrm{0,2}{q}_n$ avec pour tout entier naturel n, $p_n+q_n=1$. Donc pour tout entier naturel n, $$p_{n+1}=\mathrm{0,6}{p}_n+\mathrm{0,2}\times \left(1-p_n\right)=\mathrm{0,4}{p}_n+\mathrm{0,2}$$

   Ainsi, pour tout entier naturel n, on a : $p_{n+1}=\mathrm{0,4}{p}_n+\mathrm{0,2}$.

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6. On considère l'algorithme suivant :

   initialisation :	Choisir un nombre entier naturel $N⩾2$ p prend la valeur 0,85
   traitement :	Pour i allant de 2 à N p prend la valeur $\mathrm{0,4}p+\mathrm{0,2}$ Fin pour
   Sortie :	Afficher p

   1. Pour la valeur $N=5$ saisie, recopier et compléter le tableau suivant par autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l'exécution de l'algorithme. Arrondir les résultats au millième.

      Valeur de i		2	3	4	5
      Valeur de p	0,85	0,54	0,416	0,366	0,347

   2. En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de N saisie est 5.

      Arrondie au millième près, la valeur affichée de $p_5$ est 0,347.

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   3. Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme.

      Le cinquième jour, la proportion d'adolescents qui choisissent le canoë-kayak est d'environ 0,347.

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partie b

D'après la partie A, on sait que $p_{n+1}=\mathrm{0,4}{p}_n+\mathrm{0,2}$ pour tout entier naturel $n⩾1$.
On admet que $p_n={\displaystyle \frac{31}{60}}\times {\mathrm{0,4}}^{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{3}}$ pour tout entier naturel $n⩾1$.

1. Conjecturer la limite de la suite $\left(p_n\right)$.

   $0<\mathrm{0,4}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,4}}^{n-1}=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{31}{60}}\times {\mathrm{0,4}}^{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

   La suite $\left(p_n\right)$ converge vers ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

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2. Interpréter le résultat.

   À partir d'un certain nombre de jours, environ un tiers des adolescents choisiront le canoë-kayak.

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