Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2015

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Dans une ville, un service périscolaire comptabilise 150 élèves inscrits en septembre 2014. On admet que, chaque année, 80 % des élèves inscrits renouvelleront leur inscription l'année suivante et qu'il y aura 40 nouveaux élèves inscrits. La capacité d'accueil du périscolaire est de 190 élèves maximum.
On modélise cette situation par une suite numérique $(u_{n})$ où $u_{n}$ représente le nombre d'élèves inscrits au périscolaire en septembre de l'année 2014 + n, avec n un nombre entier naturel.
On a donc $u_{0} = 150$ .

Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au périscolaire en septembre 2015.
En septembre 2015, 80 % des 150 élèves inscrits en septembre 2014 renouvellent leur inscription et 40 nouveaux élèves seront inscrits d'où un nombre d'élèves inscrits au périscolaire en septembre 2015 de : $150 \times \frac{80}{100} + 40 = 160$
En septembre 2015, 160 élèves seront inscrits au périscolaire.
Pour tout entier naturel n, justifier que $u_{n + 1} = 0,8 u_{n} + 40$ .
Chaque année, 80 % des élèves inscrits renouvellent leur inscription l'année suivante et 40 nouveaux élèves seront inscrits au périscolaire d'où :
Pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,8 u_{n} + 40$ .
On donne l'algorithme suivant :
initialisation :
Affecter à n la valeur 0
Affecter à U la valeur 150
traitement :
Tant que $U ⩽ 190$
n prend la valeur $n + 1$
U prend la valeur $0,8 \times U + 40$
Fin Tant que
Sortie :
Afficher le nombre 2014 + n
1. Recopier et compléter le tableau suivant par autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l'exécution de l'algorithme. Arrondir les résultats au centième.
  Valeur de n 0 1 2 3 4 5 6 7 8
  Valeur de U 150 160 168 174,4 179,52 183,62 186,89 189,51 191,61
  Condition $U ⩽ 190$ Vraie Vraie Vraie Vraie Vraie Vraie Vraie Vraie FAUSSE
2. En déduire l'affichage obtenu en sortie de l'algorithme et interpréter ce résultat.
  L'affichage obtenu en sortie de l'algorithme est 2022. En septembre 2022, la directrice du périscolaire refusera des inscriptions faute de places disponibles.
On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = u_{n} - 200$ .
1. Montrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
  $v_{0} = u_{0} - 200$ . Soit $v_{0} = 150 - 200 = - 50$ . D'autre part, pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 200 \\ = & 0,8 u_{n} + 40 - 200 \\ = & 0,8 u_{n} - 160 \\ = & 0,8 \times (u_{n} - 200) \\ = & 0,8 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,8 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8. Le premier terme de cette suite est $v_{0} = - 50$ .
2. Pour tout entier naturel n, démontrer que $u_{n} = 200 - 50 \times {0,8}^{n}$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme $v_{0} = - 50$ donc pour tout entier naturel n, $v_{n} = - 50 \times {0,8}^{n}$ .
  D'autre part, pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 200 \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} + 200$ donc :
  pour tout entier naturel n, on a $u_{n} = 200 - 50 \times {0,8}^{n}$ .
3. Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel n tel que : $200 - 50 \times {0,8}^{n} > 190$ .
  On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation : $\begin{array}{rcll} 200 - 50 \times {0,8}^{n} > 190 & \Leftrightarrow & - 50 \times {0,8}^{n} > - 10 \\ \Leftrightarrow & {0,8}^{n} < \frac{10}{50} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,8}^{n}) < \ln (0,2) & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \ln 0,8 < \ln 0,2 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 0,2}{\ln 0,8} & \ln 0,8 < 0 \end{array}$
  Comme $\frac{\ln 0,2}{\ln 0,8} \approx 7,2$ alors :
  Le plus petit entier n tel que $200 - 50 \times {0,8}^{n} > 190$ est $n = 8$ .
4. À partir de quelle année la directrice du périscolaire sera-t-elle obligée de refuser des inscriptions faute de places disponibles ?
  D'après le résultat précédent : $\begin{matrix} u_{n} > 190 & \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 0,2}{\ln 0,8} & soit & n ⩾ 8 \end{matrix}$
  À partir de 2022 la directrice du périscolaire sera obligée de refuser des inscriptions faute de places disponibles.

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initialisation :	Affecter à n la valeur 0 Affecter à U la valeur 150
traitement :	Tant que $U ⩽ 190$ n prend la valeur $n + 1$ U prend la valeur $0,8 \times U + 40$ Fin Tant que
Sortie :	Afficher le nombre 2014 + n

Valeur de n	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Valeur de U	150	160	168	174,4	179,52	183,62	186,89	189,51	191,61
Condition $U ⩽ 190$	Vraie	Vraie	Vraie	Vraie	Vraie	Vraie	Vraie	Vraie	FAUSSE