Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2015

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Pierre a des pommiers dans son verger. Il décide de faire du jus de pomme avec ses fruits.
Dans sa récolte :

  • il dispose de 80 % de pommes de variété A et de 20 % de pommes de variété B.
  • 15 % des pommes de variété A et 8 % des pommes de variété B sont avariées et devront être jetées.

On prend une pomme au hasard dans la récolte et on note :

  • A l'évènement « la pomme est de variété A» ;
  • B l'évènement « la pomme est de variété B » ;
  • J l'évènement « la pomme est jetée » ;
  • J¯ l'évènement contraire de l'évènement J.

On note p(A) la probabilité de l'évènement A.

Les trois parties peuvent être traitées indépendamment.
Dans tout l'exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième.

partie a

  1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

    • Dans la récolte, 80 % de pommes sont de variété A et 20 % de pommes sont de variété B. D'où p(A)=0,8 et p(B)=0,2
    • 15 % des pommes de variété A sont avariées et devront être jetées d'où pA(J)=0,15 et pA(J¯)=1-0,15=0,85.
    • 8 % des pommes de variété B sont avariées et devront être jetées d'où pB(J)=0,08 et pB(J¯)=1-0,08=0,92.

    L'arbre pondéré qui illustre la situation est :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Calculer la probabilité que la pomme soit de variété A et soit jetée.

    p(AJ)=pA(J)×p(A)soitp(AJ)=0,15×0,8=0,12

    La probabilité que la pomme soit de variété A et soit jetée est égale à 0,12.


  3. Montrer que la probabilité qu'une pomme soit jetée est égale à 0,136.

    D'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
    p(J)=p(AJ)+p(BJ)

    Or p(BJ)=pB(J)×p(B)soitp(BJ)=0,08×0,2=0,016

    On obtient alors p(J)=0,12+0,016=0,136

    La probabilité qu'une pomme soit jetée est égale à 0,136.


  4. Calculer la probabilité qu'une pomme soit de variété A sachant qu'elle a été jetée.

    pJ(A)=p(AJ)p(J)SoitpJ(A)=0,120,1360,882

    Arrondie au millième près, la probabilité qu'une pomme soit de variété A sachant qu'elle a été jetée est 0,882.


partie b

Une pomme pèse en moyenne 150 g. On modélise le poids d'une pomme en grammes par une variable aléatoire X qui suit une loi normale d'espérance μ=150 et d'écart type σ=10.

  1. Déterminer la probabilité que la pomme ait un poids inférieur à 150 g.

    Le poids d'une pomme en grammes est modélisé par une variable aléatoire X qui suit une loi normale d'espérance μ=150 alors p(X150)=0,5

    La probabilité que la pomme ait un poids inférieur à 150 g est égale à 0,5.


  2. Déterminer p(120X170). Interpréter ce résultat.

    Avec la calculatrice, on a :p(120X170)0,976

    97,6 % des pommes ont un poids compris entre 120 g et 170 g.


partie c

Pierre a pris rendez-vous dans une fabrique de jus de pomme artisanale. Il arrive au hasard entre 8 heures et 9 heures 30 minutes.
Son heure d'arrivée est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [8;9,5].

Déterminer la probabilité que Pierre arrive entre 8 h 30 et 8 h 45.

L'heure d'arrivée est modélisée par une variable aléatoire Y qui suit la loi uniforme sur [8;9,5] : p(8,5Y8,75)=8,75-8,59,5-8=160,167

Arrondie au millième près, la probabilité que Pierre arrive entre 8 h 30 et 8 h 45 est 0,167.



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