Les techniciens d'un aquarium souhaitent régler le distributeur automatique d'un produit visant à améliorer la qualité de l'eau dans un bassin. La concentration recommandée du produit, exprimée en mg.l− 1 (milligramme par litre), doit être comprise entre 140 mg.l− 1 et 180 mg.l− 1.
Au début du test, la concentration du produit dans ce bassin est de 160 mg.l− 1.
On estime que la concentration du produit baisse d'environ 10 % par semaine. Afin de respecter les recommandations portant sur la concentration du produit, les techniciens envisagent de régler le distributeur automatique de telle sorte qu'il déverse chaque semaine une certaine quantité de produit.
Les techniciens cherchent à déterminer cette quantité de façon à ce que :
Dans cette partie, on suppose que la quantité de produit déversée chaque semaine par le distributeur automatique est telle que la concentration augmente de 10 mg.l− 1.
On s'intéresse à l'évolution de la concentration chaque semaine. La situation peut être modélisée par une suite , le terme en donnant une estimation de la concentration du produit, en mg.l− 1, au début de la n-ième semaine. On a .
Justifier que, pour tout entier naturel n, .
La concentration du produit baisse d'environ 10 % par semaine donc chaque semaine 90 % de la concentration de la semaine précédente est conservée. En outre, la quantité de produit déversée chaque semaine par le distributeur automatique est telle que la concentration augmente de 10 mg.l− 1.
Ainsi, pour tout entier naturel n, .
Soit la suite définie pour tout entier naturel n par : .
Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,9 et que .
. Soit . Pour tout entier n,
Ainsi, pour tout entier naturel n, donc est une suite géométrique de raison 0,9. Le premier terme de la suite géométrique est .
Exprimer en fonction de n.
est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme donc pour tout entier naturel n, .
En déduire que pour tout entier naturel n, .
Comme pour tout tout entier naturel n, , on en déduit que :
Pour tout entier naturel n, .
Déterminer la limite de la suite quand n tend vers l'infini. Justifier la réponse.
Interpréter le résultat au regard de la situation étudiée.
donc d'où, . Soit .
La suite converge vers 100. À partir d'un certain nombre de semaines, la concentration du produit dans le bassin sera proche 100 mg.l− 1.
Au bout de combien de semaines la concentration devient-elle inférieure à 140 mg.l− 1 ?
On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation :
Comme alors le plus petit entier n tel que est .
Au bout de quatre semaines la concentration devient inférieure à 140 mg.l− 1.
Le réglage envisagé du distributeur répond-il aux attentes ?
La concentration du produit devant être comprise entre 140 mg.l− 1 et 180 mg.l− 1 pendant une durée de 6 semaines au moins, le réglage envisagé du distributeur ne répond pas aux attentes.
Dans cette partie, on suppose que la quantité de produit déversée chaque semaine par le distributeur automatique est telle que la concentration augmente de 12 mg.l− 1.
Que penser de ce réglage au regard des deux conditions fixées par les techniciens ?
La situation est modélisée par la suite définie par et, pour tout entier naturel n, . La troncature à l'unité des différents termes de la suite est :
Nombre de semaines n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Concentration | 160 | 156 | 152 | 149 | 146 | 143 | 141 |
Ce réglage permet de satisfaire la première condition d'une concentration de produit comprise entre 140 mg.l− 1 et 180 mg.l− 1 pendant une durée de 6 semaines au moins. Par contre nous ne pouvons pas conclure si la quantité de produit consommée est minimale avec ce réglage.
Le calcul de la quantité minimale de produit n'est pas demandée.
À titre indicatif, pour satisfaire la condition d'une concentration de produit comprise entre 140 mg.l− 1 et 180 mg.l− 1 pendant une durée d'au moins 6 semaines, la quantité q de produit qu'il faut déverser chaque semaine est (milligramme par litre).
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