sujet : Polynésie 2015

corrigé de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

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1. Soit la fonction g définie pour tout nombre réel x strictement positif par $g\left(x\right)=2{\mathrm{e}}^{3x}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \left(x\right)$.

   Pour réel x strictement positif, $$g\prime \left(x\right)=2\times 6\times {\mathrm{e}}^{3x}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{1}{x}}=6{\mathrm{e}}^{3x}+{\displaystyle \frac{1}{2x}}$$

   a. $g\prime \left(x\right)=2{\mathrm{e}}^{3x}+{\displaystyle \frac{2}{x}}$

   b. $g\prime \left(x\right)=6{\mathrm{e}}^{3x}+{\displaystyle \frac{2}{x}}$

   c. $g\prime \left(x\right)=6{\mathrm{e}}^{3x}+{\displaystyle \frac{1}{2x}}$

   d. $g\prime \left(x\right)=6{\mathrm{e}}^x+{\displaystyle \frac{1}{2x}}$

2. La courbe représentative C d'une fonction f définie sur l'intervalle $\left[-2;4\right]$ est donnée ci-dessous. La tangente T à la courbe au point d'abscisse 0 traverse la courbe en ce point.
   La fonction f est convexe sur l'intervalle :

   La tangente C à la courbe au point d'abscisse 0 traverse la courbe en ce point. Par conséquent, la courbe C admet le point d'abscisse 0 comme point d'inflexion. Cela signifie que la fonction f change de convexité pour $x=0$. Comme d'autre part, la courbe C est au dessus de la tantente T pour $x⩾0$ on en déduit que la fonction f est convexe sur l'intervalle $\left[0;4\right]$.

   a. $\left[-1;4\right]$

   b. $\left[-2;0\right]$

   c. $\left[-2;-1\right]$

   d. $\left[0;4\right]$

3. On donne l'algorithme ci-dessous.
   La valeur affichée en sortie de cet algorithme est :

   Variables n : un nombre entier naturel

   Traitement Affecter à n la valeur 0 Tant que ${\mathrm{1,9}}^n<100$ Affecter à n la valeur $n+1$ Fin Tant que

   Sortie Afficher n

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   Comme n est un entier, les réponses a et b sont fausses. Il suffit alors de vérifier que ${\mathrm{1,9}}^8⩾100$ pour conclure.

   a. 7,1

   b. 7,6

   c. 8

   d. 17

4. Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ dont la fonction de densité est représentée ci-dessous.
   On a alors :

   L'espérance de la loi uniforme sur $\left[0;5\right]$ est $E\left(X\right)={\displaystyle \frac{5+0}{2}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$

   a. $P\left(X⩾3\right)=P\left(X<3\right)$

   b. $P\left(1⩽X⩽4\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$

   c. $E\left(X\right)={\displaystyle \frac{5}{2}}$

   d. $E\left(X\right)={\displaystyle \frac{1}{5}}$

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