Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Polynésie 2015

corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Les parties A et B sont indépendantes.

Sur une exploitation agricole, une maladie rend la conservation de fruits difficile. Un organisme de recherche en agronomie teste un traitement sur un champ : sur une partie du champ, les fruits sont traités, sur l'autre, non.
On considère que le nombre de fruits récoltés est extrêmement grand et que la maladie touche les fruits de manière aléatoire.

partie a Étude de l'efficacité du traitement

On prélève au hasard 100 fruits sur la partie du champ traité et 100 fruits sur l'autre partie du champ. On constate que :

  • sur l'échantillon des 100 fruits traités, 18 sont abimés ;
  • sur l'échantillon des 100 fruits non traités, 32 sont abimés.
  1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion de fruits abimés par la maladie au niveau de confiance de 95 % :

    1. pour la partie du champ traitée ;

      La proportion de fruits abimés dans l'échantillon de 100 fruits prélevés dans la partie du champ traitée est f=18100=0,18

      Un intervalle de confiance de la proportion p de fruits abimés par la maladie au niveau de confiance de 95 % sur la partie du champ traitée est I1=[0,18-1100;0,18+1100]=[0,08;0,28]

      Un intervalle de confiance de la proportion p de fruits abimés dans la partie du champ traitée au niveau de confiance 0,95 est I1=[0,08;0,28]


    2. pour la partie du champ non traitée.

      La proportion de fruits abimés dans l'échantillon de 100 fruits prélevés dans la partie du champ non traitée est f=32100=0,32

      Un intervalle de confiance de la proportion p de fruits abimés par la maladie au niveau de confiance de 95 % sur la partie du champ non traitée est I2=[0,32-1100;0,32+1100]=[0,22;0,42]

      Un intervalle de confiance de la proportion p de fruits abimés dans la partie du champ non traitée au niveau de confiance 0,95 est I2=[0,22;0,42]


  2. Au vu des intervalles obtenus à la question 1, peut-on considérer que le traitement est efficace ?

    Les deux intervalles de confiance ne sont pas disjoints, par conséquent on ne peut pas conclure à propos de l'éfficacité du traitement.


partie b Qualité de la production

Une étude plus poussée permet d'estimer la proportion de fruits abimés à 0,12 dans la partie du champ traitée et à 0,30 dans la partie non traitée.
On sait de plus qu'un quart du champ a été traité.
Une fois récoltés, les fruits sont mélangés sans distinguer la partie du champ d'où ils proviennent.

On prélève au hasard un fruit récolté dans le champ et on note :

  • T l'évènement « Le fruit prélevé provient de la partie traitée » ;
  • A l'évènement « Le fruit prélevé est abimé ».

On arrondira les résultats au millième.

  1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

    • Un quart du champ a été traité d'où P(T)=0,25 et P(T¯)=1-0,25=0,75.
    • On estime la proportion de fruits abimés à 0,12 dans la partie du champ traitée et à 0,30 dans la partie non traitée d'où PT(A)=0,12 et PT¯(A)=0,30.

    D'où l'arbre pondéré traduisant la situation :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Calculer la probabilité que le fruit prélevé soit traité et abimé.

      P(TA)=PT(A)×P(T)soitP(TA)=0,12×0,25=0,03

      La probabilité que le fruit prélevé soit traité et abimé est égale à 0,03.


    2. Montrer que P(A)=0,255.

      Les évènements T et A sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)


      P(A)=P(TA)+P(T¯A)

      Or P(T¯A)=PT¯(A)×P(T¯)SoitP(T¯A)=0,30×0,75=0,225

      On obtient alors P(A)=0,03+0,225=0,255

      La probabilité que le fruit soit abimé est P(A)=0,255.


  2. Un fruit prélevé au hasard dans la récolte est abimé, Peut-on affirmer qu'il y a une chance sur quatre pour qu'il provienne de la partie du champ traitée ?

    PA(T)=P(TA)P(A)SoitPA(T)=0,030,255=217

    PA(T)0,118 par conséquent on ne peut pas affirmer qu'il y a une chance sur quatre pour qu'un fruit abimé provienne de la partie du champ traitée.


  3. Dans le but d'effectuer un contrôle, cinq fruits sont prélevés au hasard dans le champ. Calculer la probabilité qu'au plus un fruit soit abimé.

    Le nombre de fruits récoltés étant extrêmement grand, on peut assimiler le prélèvement de 5 fruits à un tirage avec remise 5 fruits. Soit X la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 5 fruits, associe le nombre de fruits abimés. La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n=5 et p=0,255

    À l'aide de la calculatrice, on trouve P(X1)0,622

    La probabilité qu'au plus un fruit soit abimé est 0,622.



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