contrôle du 20 octobre 2006

Corrigé de l'exercice 2

1. Déterminer la médiane, le premier et le troisième quartiles. Représenter la répartition des valeurs $x_i$ à l'aide d'un diagramme en boîte.

   L'effectif total est $N=25$.

   • La médiane est la valeur du caractère de rang 13 soit $M_e=4$.

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   • Le premier quartile est la valeur du caractère de rang 7 soit $Q_1=0$.

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   • Le troisième quartile est la valeur du caractère de rang 19 soit $Q_3=8$.

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2. Calculer la moyenne $\overline{x}$ et l'écart-type s de la série statistique.

   $$\begin{array}{lllll}\overline{x}& =& {\displaystyle \frac{4\times \left(-2\right)+5\times 0+5\times 4+6\times 8+5\times 13}{25}}& =& 5\end{array}$$

   Arrondi à ${10}^{-2}$ près, l'écart-type obtenu à l'aide de la calculatrice est $s=\mathrm{5,29}$.

   Ainsi, la moyenne de la série statistique est $\overline{x}=5$ et l'arrondi au centième près de l'écart-type est $s=\mathrm{5,29}$

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3. Soit S la fonction définie sur $ℝ$ par :$$S\left(x\right)=4{\left(x+2\right)}^2+5x^2+5{\left(x-4\right)}^2+6{\left(x-8\right)}^2+5{\left(x-13\right)}^2$$

   1. Vérifier que $S\left(x\right)=25x^2-250x+1325$.

      $$\begin{array}{l}S\left(x\right)=4{\left(x+2\right)}^2+5x^2+5{\left(x-4\right)}^2+6{\left(x-8\right)}^2+5{\left(x-13\right)}^2\\ S\left(x\right)=4\left(x^2+4x+4\right)+5x^2+5\left(x^2-8x+16\right)+6\left(x^2-16x+64\right)+5\left(x^2-26x+169\right)\\ S\left(x\right)=4x^2+5x^2+5x^2+6x^2+5x^2+16x-40x-96x-130x+16+80+384+845\\ S\left(x\right)=25x^2-250x+1325\end{array}$$

      Ainsi, S est la fonction définie sur $ℝ$ par $S\left(x\right)=25x^2-250x+1325$.

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   2. Déterminer le sens de variations de la fonction S et en déduire sa valeur minimale.

      S est une fonction polynôme du second degré avec $a=25\text{, }b=-250\text{ et }c=1325$.

      $a>0$ , alors S admet un minimum atteint pour $$\begin{array}{lll}x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}& \text{Soit pour}& x=-{\displaystyle \frac{-250}{50}}=5\end{array}$$

      D'autre part, $$\begin{array}{lll}S\left(5\right)& =& 25\times 5^2-250\times 5+1325\\ & =& 700\end{array}$$

      Tableau de variation de la fonction S :

      x	$-\infty$		5		$+\infty$
      Variations de S			700

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      Le minimum de la fonction S est 700 atteint pour $x=5$.

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   3. Calculer la variance à partir de la somme S. En déduire la valeur exacte de l'écart-type s.

      La variance d'une série statistique est $V\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{N}}{\displaystyle \sum _{i=1}^p{n}_i{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}$ où N est l'effectif total.

      La variance de la série statistique est donc :$$V\left(x\right)={\displaystyle \frac{S\left(\overline{x}\right)}{25}}={\displaystyle \frac{700}{25}}=28$$

      Ainsi, la variance de la série statistique est $V\left(x\right)=28$ et l'écart-type est $s=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$.

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