contrôle du 12 mai 2006

correction de l'exercice 2

Les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles.

1. Combien y a-t-il de réponses possibles ? (on pourra s'aider d'un arbre, mais il n'est pas demandé de le faire sur la copie).

   On considère que l'élève répond à toutes les questions.

   Il y a trois réponses possibles à la première question et à chacune de ces trois réponses correspond trois réponses possibles pour la deuxième question.

   Donc il y a neuf réponses distinctes à l'issue des deux premières questions et à chacune de ces neuf réponses correspond trois réponses possibles pour la troisième question.

   Ainsi il y a $3^3=27$ réponses distinctes à ce Q.C.M.

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2. Quelles sont les différentes notes que peut obtenir cet élève au Q.C.M. ?

   Sous l'hypothèse qu'un élève répond à toutes les questions alors les différentes notes sont :

   • Les trois réponses sont exactes alors la note obtenue est égale à 3.
   • Deux des trois réponses sont exactes alors la note obtenue est égale à $2-\mathrm{0,5}=\mathrm{1,5}$.
   • Une seule des trois réponses est exacte alors la note obtenue est égale à $1-2\times \mathrm{0,5}=0$.
   • Les trois réponses sont fausses alors la note obtenue est égale à 0.

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   Les différentes notes que peut obtenir un élève au Q.C.M. sont 3 ; 1,5 ou 0.

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3. Quelle est la probabilité qu'il obtienne trois points dans cet exercice ?

   Il n'y a qu'une une seule réponse exacte par question par conséquent :

   La probabilité d'avoir trois points à cet exercice est ${\displaystyle \frac{1}{27}}$.

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4. Quelle est la probabilité qu'il obtienne au plus la moyenne ?

   Notons E l'évènement "obtenir trois points au Q.C.M." alors l'évènement "obtenir au plus 1,5 points au Q.C.M." est l'évènement contraire de l'évènement E noté $\overline{\mathrm{E}}$.

   Or $p\left(\overline{\mathrm{E}}\right)=1-p\left(\mathrm{E}\right)$

   D'où $p\left(\overline{\mathrm{E}}\right)=1-{\displaystyle \frac{1}{27}}={\displaystyle \frac{26}{27}}$

   La probabilité d'obtenir au plus la moyenne est ${\displaystyle \frac{26}{27}}$.

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5. On suppose que la solution au Q.C.M. est "AAA". Énumérer toutes les réponses permettant d'obtenir la note 1,5. En déduire la probabilité d'obtenir cette note.

   La note 1,5 correspond à deux réponses exactes d'où les six réponses suivantes :
   {AAB, AAC, ABA, ACA, BAA, CAA} permettent d'obtenir 1,5

   La probabilité d'obtenir 1,5 est ${\displaystyle \frac{6}{27}}={\displaystyle \frac{2}{9}}$.

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6. Donner la loi de probabilité de la note obtenue au Q.C.M. par un élève qui décide de répondre au hasard et à toutes les questions.

   Il n'y a que trois notes possibles à ce Q.C.M. par conséquent, la somme des probabilités des trois issues est égale à 1.

   Or la probabilité d'obtenir 3 est égale à ${\displaystyle \frac{1}{27}}$ et celle d'obtenir 1,5 est égale à ${\displaystyle \frac{2}{9}}$.

   Donc la probabilité d'obtenir 0 est égale à $1-\left({\displaystyle \frac{1}{27}}+{\displaystyle \frac{2}{9}}\right)$

   La loi de probabilité de la note obtenue au Q.C.M. est :

   note	0	1,5	3
   $p_i$	${\displaystyle \frac{20}{27}}$	${\displaystyle \frac{2}{9}}$	${\displaystyle \frac{1}{27}}$

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