contrôles en première ES spécialité

contrôle du 25 fevrier 2006

Corrigé de l'exercice 1

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal (O;𝚤,𝚥,k). On considère les points A(-2;1;0), B(1;2;1), C(-3;2;2) et D(-1;4;5).

  1. Les vecteurs AB et AC sont-ils colinéaires ? orthogonaux ?

    Calculons les coordonnées des vecteurs AB et AC :

    AB(xB-xA;yB-yA;zB-zA)soitAB(3;1;1)AC(xC-xA;yC-yA;zC-zA)soitAC(-1;1;2)

    Il n'existe pas de réel k tel que AB=kAC donc les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires.

    Dans un repère orthonormé (O;𝚤,𝚥,k), les vecteurs u(x;y;z) et v(x';y';z') sont orthogonaux si et seulement si : xx'+yy'+zz'=0

    Nous avons 3×(-1)+1×1+1×2=0

    Ainsi, dans le repère orthonormé (O;𝚤,𝚥,k), les coordonnées des vecteurs AB et AC vérifient la relation xx'+yy'+zz'=0.

    Les vecteurs AB et AC sont orthogonaux.


  2. Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires ?

    Les points A, B, C et D sont dans un même plan si, et seulement si, les vecteurs AB, AC et AD sont coplanaires.

    Les coordonnées du vecteur AD sont :AD(xD-xA;yD-yA;zD-zA)soitAD(1;3;5)

    Existe-t-il deux réels a et b tels que AD=aAB+bAC   ? C'est à dire deux deux réels a et b solutions du système {3a-b=1a+b=3a+2b=5{3a-b=1a=1b=2

    Or 3×1+2=1. Donc AD=AB+2AC

    Les vecteurs AB, AC et AD sont coplanaires donc les points A, B, C et D sont dans un même plan.



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