contrôle du 25 fevrier 2006

Corrigé de l'exercice 1

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k})$. On considère les points $A\left(-2;1;0\right)$, $B\left(1;2;1\right)$, $C\left(-3;2;2\right)$ et $D\left(-1;4;5\right)$.

1. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont-ils colinéaires ? orthogonaux ?

   Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :

   $$\begin{array}{lll}\overrightarrow{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A\right)& \text{soit}& \overrightarrow{AB}\left(3;1;1\right)\\ \overrightarrow{AC}\left(x_C-x_A;y_C-y_A;z_C-z_A\right)& \text{soit}& \overrightarrow{AC}\left(-1;1;2\right)\end{array}$$

   Il n'existe pas de réel k tel que $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$ donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.

   Dans un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k})$, les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(x;y;z\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(x\text{'};y\text{'};z\text{'}\right)$ sont orthogonaux si et seulement si : $$xx\text{'}+yy\text{'}+zz\text{'}=0$$

   Nous avons $$3\times \left(-1\right)+1\times 1+1\times 2=0$$

   Ainsi, dans le repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k})$, les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ vérifient la relation $xx\text{'}+yy\text{'}+zz\text{'}=0$.

   Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux.

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2. Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires ?

   Les points A, B, C et D sont dans un même plan si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires.

   Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AD}$ sont :$$\begin{array}{lll}\overrightarrow{AD}\left(x_D-x_A;y_D-y_A;z_D-z_A\right)& \text{soit}& \overrightarrow{AD}\left(1;3;5\right)\end{array}$$

   Existe-t-il deux réels a et b tels que $\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}$   ? C'est à dire deux deux réels a et b solutions du système $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rrr}3a-b& =& 1\\ a+b& =& 3\\ a+2b& =& 5\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rrr}3a-b& =& 1\\ a& =& 1\\ b& =& 2\end{array}\end{array}$$

   Or $3\times 1+2=1$. Donc $$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$$

   Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires donc les points A, B, C et D sont dans un même plan.

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