contrôles en première ES spécialité

contrôle du 25 fevrier 2006

Corrigé de l'exercice 2

L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥}, \vec{k})$ .
On considère le plan P d'équation $2 x + 3 y + 3 z = 12$ .

Le plan P coupe l'axe des abscisses en A, l'axe des ordonnées en B et celui des cotes en C.
1. Déterminer les coordonnées des points A, B et C.
  
  Les coordonnées des points d'intersection du plan P avec les axes du repère sont : $A (6; 0; 0)$ , $B (0; 4; 0)$ et $C (0; 0; 4)$
2. Représenter les intersections du plan P avec les plans de base du repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥}, \vec{k})$ .
  Les droites d'intersection du plan P avec les plans de coordonnées du repère sont les droites (AB), (BC) et (AC).
1. Soit I le milieu du segment [AB]. Calculer les coordonnées du point I.
  I est le milieu du segment $[A B]$ alors ses coordonnées sont : $\begin{matrix} I (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2}) & Soit & I (\frac{6}{2}; \frac{4}{2}; 0) \end{matrix}$
  Ainsi, le point I a pour coordonnées $I (3; 2; 0)$
2. Les points I, $J (0; 0; 6)$ et $K (2; 1; 3)$ sont-ils alignés ?
  Calculons les coordonnées des vecteurs $\vec{I J}$ et $\vec{I K}$ :
  $\begin{array}{l} \vec{I J} (x_{J} - x_{I}; y_{J} - y_{I}; z_{J} - z_{I}) & soit & \vec{I J} (- 3; - 2; 0) \\ \vec{I K} (x_{K} - x_{I}; y_{K} - y_{I}; z_{K} - z_{I}) & soit & \vec{I K} (- 1; - 1; 3) \end{array}$
  Il n'existe pas de réel k tel que $\vec{I J} = k \vec{I K}$ donc les vecteurs $\vec{I J}$ et $\vec{I K}$ ne sont pas colinéaires.
  Les vecteurs $\vec{I J}$ et $\vec{I K}$ ne sont pas colinéaires donc les points I, J et K ne sont pas alignés, ils déterminent un plan.
3. Déterminer une équation cartésienne du plan (IJK).
  Les coordonnées des points I, J et K vérifient l'équation du plan (IJK) d'équation $a x + b y + c z = d$ .
  $I (3; 2; 0) \in (I J K) \Leftrightarrow 3 a + 2 b = d$ ; $J (0; 0; 6) \in (I J K) \Leftrightarrow 6 c = d$ et $K (2; 1; 3) \in (I J K) \Leftrightarrow 2 a + b + 3 c = d$
  Soit a, b et c sont solutions du système : $\begin{array}{lcl} {\begin{array}{r} 2 a + b + 3 c & = & d \\ 3 a + 2 b & = & d \\ 6 c & = & d \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} 2 a + b & = & \frac{d}{2} \\ 3 a + 2 b & = & d \\ c & = & \frac{d}{6} \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcll} 2 a + b & = & \frac{d}{2} \\ a & = & 0 & L_{2} \leftarrow 2 L_{1} - L_{2} \\ c & = & \frac{d}{6} \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} b & = & \frac{d}{2} \\ a & = & 0 \\ c & = & \frac{d}{6} \end{array} \end{array}$
  Une équation du plan (IJK) est donc $\frac{d}{2} y + \frac{d}{6} z = d$ . En choisissant $d = 6$ on obtient $b = 3$ et $c = 1$
  Ainsi, une équation du plan (IJK) est $3 y + z = 6$ .
1. Quelle est la nature de l'ensemble Δ des points M dont les coordonnées $(x; y; z)$ vérifient le système : ${\begin{array}{rcl} 2 x + 3 y + 3 z & = & 12 \\ 3 y + z & = & 6 \end{array}$ .
  L'ensemble Δ des points $M (x; y; z)$ de l'espace dont les coordonnées vérifient ${\begin{array}{rcl} 2 x + 3 y + 3 z & = & 12 \\ 3 y + z & = & 6 \end{array}$ est l'intersection des plans P et (IJK). Or deux plans sont sécants en une droite.
  Ainsi, Δ est la droite caractérisée par le système d'équations ${\begin{array}{rcl} 2 x + 3 y + 3 z & = & 12 \\ 3 y + z & = & 6 \end{array}$ .
2. Représenter en rouge l'ensemble Δ dans le repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥}, \vec{k})$ .
  Le plan (IJK) est parallèle à l'axe des abscisses. Le point d'intersection du plan (IJK) avec l'axe des ordonnées est le point $L (0; 2; 0)$ .
  - Le point I appartient aux deux plans P et (IJK) donc I est un point de la droite Δ.
  - Les droites (BC) et (JL) sont dans le même plan (yOz). Leur point d'intersection E est un point de la droite Δ.
  La droite Δ est la droite (IE).

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