contrôle du 18 mars 2006

Enseignement de spécialité

Corrigé de l'exercice 1

Dans l'espace muni d'un repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k})$, on considère les points $A\left(2;1;4\right)$, $B\left(2;4;2\right)$ et $C\left(4;2;{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$.

1. Les points A, B et C sont-ils alignés ?

   Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\left(2-2;4-1;2-4\right)$ soit $\overrightarrow{AB}\left(0;3;-2\right)$ .

   Le vecteur $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées $\left(4-2;2-1;{\displaystyle \frac{5}{2}}-4\right)$ soit $\overrightarrow{AC}\left(2;1;-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ .

   Or il n'existe pas de réel k tel que $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$ donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.

   Ainsi les points A, B et C ne sont pas alignés.

   ---

2. Déterminer les coordonnées du point D intersection de la droite (AB) avec le plan (xOy).

   D est un point du plan (xOy) alors, les coordonnées du point D sont $D\left(x;y;0\right)$.

   D est un point de la droite (AB) alors, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont colinéaires. Il existe donc un réel k tel que $\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AB}$.

   Le vecteur $\overrightarrow{AD}$ a pour coordonnées $\left(x-2;y-1;-4\right)$.

   L'égalité vectorielle $\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AB}$ se traduit par le système :$$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{rr}x-2=& 0\\ y-1=& 3k\\ -4=& -2k\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\times 2+1\\ k=2\end{array}\end{array}$$

   Les coordonnées du point D intersection de la droite (AB) avec le plan (xOy) sont $D\left(2;7;0\right)$.

   ---

3. Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires ?

   Les points A, B et C ne sont pas alignés, ils déterminent donc un plan qui contient la droite (AB). Or D est un point de la droite (AB).

   Les points A, B, C et D sont dans le même plan.

   ---

4. Déterminer les coordonnées du point E intersection de la droite (AB) avec le plan (xOz).

   E est un point du plan (xOz) alors, les coordonnées du point E sont $E\left(x;0;z\right)$.

   E est un point de la droite (AB) alors, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AE}$ sont colinéaires. Il existe donc un réel k tel que $\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AB}$.

   Le vecteur $\overrightarrow{AE}$ a pour coordonnées $\left(x-2;-1;z-4\right)$.

   L'égalité vectorielle $\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AB}$ se traduit par le système :$$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{rr}x-2=& 0\\ -1=& 3k\\ z-4=& -2k\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}x=2\\ k=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ z=-2\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)+4\end{array}\end{array}$$

   Les coordonnées du point E intersection de la droite (AB) avec le plan (xOz) sont $E\left(2;0;{\displaystyle \frac{14}{3}}\right)$.

   ---

5. La droite (AB) est-elle sécante avec le plan (yOz) ?

   Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\left(0;3;-2\right)$ d'où $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{𝚥}-2\overrightarrow{k}$. Donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}\text{,}\overrightarrow{𝚥}\text{ et}\overrightarrow{k}$ sont coplanaires.

   D'autre part, $A\left(2;1;4\right)$ n'est pas un point du plan (yOz).

   La droite (AB) est parallèle au plan (yOz).

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Part en pourcentagePourcentage d'évolutionIndicesSystème à deux inconnuesSystème à trois inconnuesSystème d'inéquationsFonctions généralitésFonctions associéesComposée de deux fonctionsFonctions de référenceSecond degré : fonctionsSecond degré : équation, inéquationSecond degré : applicationsStatistiqueProbabilitéVariable aléatoireLoi binomialeDérivée : lecture graphiqueDérivée d'une fonctionDérivée et variationLimites et dérivées : lecture graphiqueÉtude de fonctions (limites)SuitesFonctions affines par morceauxGéométrie dans l'espace (I)Équations de plansMatrices : calculsMatrices : Système d'équationMatrices : application à l'économieMatrices de transition

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.