contrôles en première ES

contrôle du 18 mars 2006

Enseignement de spécialité

Corrigé de l'exercice 2

L'espace est muni d'un repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥}, \vec{k})$ représenté sur la figure ci-dessous. On considère les points $A (3; 2; 0)$ , $B (1; 2; 1)$ et $C (- 2; 4; 1)$ .

Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
Les vecteurs $\vec{A B} (- 2; 0; 1)$ et $\vec{A C} (- 5; 2; 1)$ ne sont pas colinéaires. Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
Une équation cartésienne du plan (ABC) est de la forme $a x + b y + c z = d$ .
En écrivant que les coordonnées des points A, B et C vérifient l'équation du plan on obtient le système : ${\begin{array}{r} 3 a + 2 b & = & d \\ a + 2 b + c & = & d \\ - 2 a + 4 b + c & = & d \end{array}$
Résolvons le système en exprimant les réels a, b et c en fonction de d.
$\begin{array}{l} {\begin{array}{r} 3 a + 2 b = d \\ a + 2 b + c = d \\ - 2 a + 4 b + c = d \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} 3 a + 2 b = d \\ 3 a - 2 b = 0 & L_{2}^{'} \leftarrow L_{2} - L_{3} \\ - 2 a + 4 b + c = d \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} 6 a = d & L_{1}^{'} \leftarrow L_{1} + L_{2}^{'} \\ 3 a - 2 b = 0 \\ - 2 a + 4 b + c = d \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} a = \frac{d}{6} \\ b = \frac{d}{4} \\ c = \frac{d}{3} \end{array} \end{array}$
En prenant par exemple d = 12 on obtient alors a = 2 ; b = 3 et c = 4.
Une équation du plan (ABC) est donc $2 x + 3 y + 4 z = 12$ .
Représenter les intersections du plan (ABC) avec les plans de coordonnées.
Pour représenter le plan (ABC) dans le repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥}, \vec{k})$ on trace les intersections du plan avec les plans de coordonnées.
Le plan (ABC) coupe l'axe (Ox) au point de coordonnées $(6; 0; 0)$ , l'axe (Oy) au point de coordonnées $(0; 4; 0)$ et l'axe (Oz) au point de coordonnées $(0; 0; 3)$ .
Les intersections du plan (ABC) avec les plans de coordonnées sont représentées ci-dessous.
Quelle est la nature de l'ensemble des points M dont les coordonnées (x; y; z) vérifient le système ${\begin{matrix} x + 2 y = 4 \\ 5 x + 2 z = 10 \end{matrix}$ ? Représenter cet ensemble sur la figure donnée.
$x + 2 y = 4$ est l'équation d'un plan $𝒫$ parallèle à l'axe (Oz)
$5 x + 2 z = 10$ est l'équation d'un plan $𝒬$ parallèle à l'axe (Oy)
Or les plans $𝒫$ et $𝒬$ sont sécants.
Donc le système ${\begin{matrix} x + 2 y = 4 \\ 5 x + 2 z = 10 \end{matrix}$ est le système d'équations cartésiennes d'une droite.
Pour tracer cette droite, il suffit de trouver deux points dont les coordonnées vérifient le système ${\begin{matrix} x + 2 y = 4 \\ 5 x + 2 z = 10 \end{matrix}$ .
Si z = 0, on obtient x = 2 d'où y = 1. Donc la droite passe par le point $P (2; 1; 0)$ .
Si x = 0, on obtient y = 2 et z = 5. Donc la droite passe par le point $R (0; 2; 5)$ .
On peut également représenter la droite à partir des intersections des traces des plans $𝒫$ et $𝒬$ avec les plans de coordonnées.
Ainsi P est le point d'intersection des intersections des plans $𝒫$ et $𝒬$ avec le plan (xOy). R est le point d'intersection des intersections des plans $𝒫$ et $𝒬$ avec le plan (yOz).
La droite (PR) est représentée dans la figure ci-dessous.
On considère le système (S) de trois équations à 3 inconnues x, y, z : ${\begin{array}{r} 2 x + 3 y + 4 z & = & 12 \\ x + 2 y & = & 4 \\ 5 x + 2 z & = & 10 \end{array}$ .
1. Quel est l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées sont solutions du système (S) ?
  Résolvons le système (S).
  $\begin{array}{l} {\begin{array}{r} 2 x + 3 y + 4 z & = & 12 \\ x + 2 y & = & 4 \\ 5 x + 2 z & = & 10 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} 2 x + 3 y + 4 z & = & 12 \\ x + 2 y & = & 4 \\ 8 x - 3 y & = & 8 & L_{3}^{'} \leftarrow 2 L_{3} - L_{1} \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} 2 x + 3 y + 4 z & = & 12 \\ x + 2 y & = & 4 \\ 19 x & = & 28 & L_{3}^{''} \leftarrow 3 L_{2} + 2 L_{3}^{'} \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} x = \frac{28}{19} \\ y = \frac{24}{19} \\ z = \frac{25}{19} \end{array} \end{array}$
  Le système (S) admet pour unique solution le triplet $(\frac{28}{19}; \frac{24}{19}; \frac{25}{19})$ .
  Le point $S (\frac{28}{19}; \frac{24}{19}; \frac{25}{19})$ est le seul point de l'espace dont les coordonnées sont solutions du système (S).
2. Représenter la résolution graphique du système (S).
  Le point $S (\frac{28}{19}; \frac{24}{19}; \frac{25}{19})$ est le point d'intersection des trois plans (ABC), $𝒫$ et $𝒬$ .
  La droite (PR) déjà représentée est la droite d'intersection des plans $𝒫$ et $𝒬$ , pour construire le point S il suffit donc de construire l'intersection du plan (ABC) avec le plan , $𝒫$ ou le plan $𝒬$ . (voir la figure ci-dessous)

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