contrôles en première ES

contrôle du 22 décembre 2006

Corrigé de l'exercice 4

La courbe ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction f qui modélise sur l'intervalle $] 0; 9]$ la fonction coût total de production de x tonnes d'un produit, le coût total est en milliers d'euros.

Chaque tonne est vendue au prix de 1600 €. La recette exprimée en milliers d'euros, occasionnée par la vente de x tonnes de produit est notée $R (x)$ .
1. Exprimer $R (x)$ en fonction x et représenter la fonction R sur le graphique précédent.
  Le montant en euros de la recette est le produit de la quantité x vendue par le prix unitaire : $1600 \times x$
  La recette exprimée en milliers d'euros, occasionnée par la vente de x tonnes de produit est $R (x) = 1,6 x$ .
  La courbe représentative de la fonction R est donc une droite passant par l'origine du repère et par le point de coordonnées $(5; 8)$ .
2. Déterminer graphiquement les quantités de produit pour lesquelles l'entreprise est bénéficiaire.
  L'entreprise est bénéficiaire pour des quantités x telles que la recette soit supérieure aux coûts de production.
  Graphiquement les quantités de produit pour lesquelles l'entreprise est bénéficiaire, sont les abscisses des points de la droite représentative de la fonction recette situés au dessus de la courbe représentative de la fonction coût total.
  L'entreprise est bénéficiaire, pour des quantités x exprimées en tonnes situées dans l'intervalle $[2,5; 7,5]$ .
En raison de la concurrence sur le marché, l'entreprise vend son produit avec une remise de 13,5 %.
1. Déterminer et représenter la nouvelle fonction recette.
  Avec une remise de 13,5 %, le prix de vente en euros de chaque tonne sera : $1600 \times 0,865 = 1384$
  La nouvelle recette $R_{2}$ exprimée en milliers d'euros, occasionnée par la vente de x tonnes de produit est $R_{2} (x) = 1,384 x$ .
2. Avec la précision permise par le graphique, quelles sont les quantités à produire pour obtenir un bénéfice.
  Graphiquement les quantités de produit pour lesquelles l'entreprise est bénéficiaire, sont les abscisses des points de la droite représentative de la fonction $R_{2}$ situés au dessus de la courbe représentative de la fonction coût total.
  L'entreprise est bénéficiaire, pour des quantités x exprimées en tonnes situées dans l'intervalle $] 3; 7 [$ .
On admet que le coût moyen par tonne est minimal pour une production de 5 tonnes.
1. Quel est le prix de vente minimal d'une tonne en dessous duquel, l'entreprise est certaine de vendre à perte ?
  Graphiquement, le coût total pour une production de 5 tonnes est de 5 000 €. Donc le coût moyen minimal est de 1 000 €.
  L'entreprise est certaine de vendre à perte si le prix de vente d'une tonne est inférieur à 1 000 €.
2. À quel taux de remise correspond ce prix ?
  Soit t le pourcentage de remise alors, $\begin{array}{l} \frac{t}{100} = \frac{1600 - 1000}{1600} & \Leftrightarrow & t = \frac{1600 - 1000}{1600} \times 100 \\ \Leftrightarrow & t = 37,5 \end{array}$
  L'entreprise est certaine de vendre à perte si la remise est supérieure à 37,5%.

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