contrôle du 26 janvier 2007

Corrigé de l'exercice 2

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :

1. $x^2+2x-2=0$.

   $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ avec $a=1\text{, }b=2\text{ et }c=-2$. D'où $$\mathrm{\Delta }=2^2-4\times 1\times \left(-2\right)=12$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions :$$\begin{array}{lll}{x}_1={\displaystyle \frac{-2-2\sqrt{3}}{2}}=-1-\sqrt{3}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-2+2\sqrt{3}}{2}}=-1+\sqrt{3}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation $x^2+2x-2=0$ est $S=\left\{-1-\sqrt{3};-1+\sqrt{3}\right\}$

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2. $x^2-7x=7x^2+2$.

   $$\begin{array}{lll}{x}^2-7x=7x^2+2& \iff & x^2-7x-7x^2-2=0\\ & \iff & -6x^2-7x-2=0\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ avec $a=-6\text{, }b=-7\text{ et }c=-2$. D'où $$\mathrm{\Delta }={\left(-7\right)}^2-4\times \left(-6\right)\times \left(-2\right)=1$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions :$$\begin{array}{lll}{x}_1={\displaystyle \frac{7-1}{-12}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{7+1}{-12}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation $x^2-7x=7x^2+2$ est $S=\left\{-{\displaystyle \frac{2}{3}};-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right\}$

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3. $\left(x-3\right)\left(x+2\right)=5x-16$.

   $$\begin{array}{lll}\left(x-3\right)\left(x+2\right)=5x-16& \iff & x^2+2x-3x-6-5x+16=0\\ & \iff & x^2-6x+10=0\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ avec $a=1\text{, }b=-6\text{ et }c=10$. D'où $$\mathrm{\Delta }={\left(-6\right)}^2-4\times 1\times 10=-4$$

   $\mathrm{\Delta }<0$ donc l'équation n'a pas de solution réelle.

   L'équation $\left(x-3\right)\left(x+2\right)=5x-16$ n'a pas de solution dans $ℝ$.

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