contrôle du 26 janvier 2007

Corrigé de l'exercice 3

Étudier dans chacun des cas, les variations de la fonction et donner les coordonnées du sommet de la parabole représentative de la fonction.

1. f est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-2x^2+6x+1$.

   f est une fonction polynôme du second degré avec $a=-2\text{, }b=6\text{ et }c=1$.

   $a<0$ , alors f admet un maximum atteint pour $$\begin{array}{lll}x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}& \text{Soit pour}& x=-{\displaystyle \frac{6}{-4}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

   D'autre part, $$\begin{array}{lll}f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)& =& -2\times {\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2+6\times {\displaystyle \frac{3}{2}}+1\\ & =& -{\displaystyle \frac{9}{2}}+9+1={\displaystyle \frac{11}{2}}\end{array}$$

   Tableau de variation de la fonction f :

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		$+\infty$
   Variations de f			${\displaystyle \frac{11}{2}}$

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   Le sommet S de la parabole d'équation $y=-2x^2+6x+1$ a pour coordonnées $S\left({\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{11}{2}}\right)$.

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2. g est la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=3x^2+6x+4$.

   g est une fonction polynôme du second degré avec $a=3\text{, }b=6\text{ et }c=4$.

   $a>0$ , alors g admet un minimum atteint pour $$\begin{array}{lll}x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}& \text{Soit pour}& x=-{\displaystyle \frac{6}{6}}=-1\end{array}$$

   D'autre part, $$\begin{array}{lll}g\left(-1\right)& =& 3\times {\left(-1\right)}^2+6\times \left(-1\right)+4\\ & =& 3-6+4=1\end{array}$$

   Tableau de variation de la fonction g :

   x	$-\infty$		$-1$		$+\infty$
   Variations de g			1

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   La parabole représentative de la fonction g a pour sommet $S\left(-1;1\right)$.

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